"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Прямая и обратная пропорциональности описывают, как связаны две величины: например, масса покупки и её стоимость или число работников и время работы. В первом случае отношение значений остаётся постоянным, во втором — постоянным остаётся их произведение. Эти правила помогают распознавать зависимость по таблице, находить неизвестные значения и решать практические задачи. У каждой зависимости есть формула и свой график.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая пропорциональность — зависимость, заданная формулой y = kx, где k — постоянное число. Она означает, что значение y получается умножением x на одно и то же число. Такая формула нужна, когда отношение двух величин не меняется, например при постоянной цене за килограмм.
Коэффициент прямой пропорциональности — число k в формуле y = kx. Оно показывает, во сколько раз изменится y, если x увеличить в несколько раз: при увеличении x в 3 раза y тоже увеличится в 3 раза. Коэффициент помогает по одной паре значений записать формулу и найти остальные значения.
Обратная пропорциональность — зависимость, заданная формулой y = k / x, где k — постоянное ненулевое число, а x не равен нулю. Здесь произведение соответствующих значений x и y всегда одинаково: xy = k. Такая модель подходит, например, для числа работников и времени выполнения неизменной работы.
Коэффициент обратной пропорциональности — постоянное число k, равное произведению x и y для каждой пары значений. Если известны x и y, коэффициент находят умножением: k = xy. Он позволяет записать формулу зависимости и вычислить неизвестное значение одной величины по другой.
Чтобы проверить таблицу на прямую пропорциональность, для каждой пары ненулевых x и y вычисли отношение y / x. Если каждый раз получается одно число k, значит, y = kx: любое значение y получается умножением соответствующего x на один постоянный множитель. Например, для пар (2; 6) и (4; 12) отношения равны 3, поэтому зависимость прямая пропорциональная.
При прямой пропорциональности y = kx, поэтому изменение x напрямую передаётся значению y. Если x умножить на 4, то и всё произведение kx увеличится в 4 раза; если x разделить на 2, y тоже уменьшится в 2 раза. Например, при постоянной цене вдвое большая масса покупки стоит вдвое дороже.
Для обратной пропорциональности в таблице перемножь x и y в каждой паре. Если произведения одинаковы и равны k, то y = k / x, потому что из xy = k можно выразить y делением k на x. Например, для пар (2; 12) и (3; 8) произведение равно 24 в обоих случаях, значит, подходит формула y = 24 / x.
При обратной пропорциональности произведение xy остаётся неизменным. Если x увеличить в 5 раз, произведение сохранится только тогда, когда y уменьшится в 5 раз: множители 5 и 1/5 взаимно компенсируются. Например, если одинаковую работу распределить вдвое большему числу одинаково производительных работников, времени понадобится вдвое меньше.
Формулы показывают, как должны располагаться точки на графике. Для y = kx точки лежат на прямой, а при x = 0 получается y = 0, поэтому прямая проходит через начало координат. График y = k / x — гипербола, её ветви изгибаются и приближаются к осям; если величины только положительные, рассматривают ветвь в первой четверти.
| Свойство | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Формула зависимости | y = kx | y = k / x |
| Как найти коэффициент | k = y / x | k = xy |
| Постоянное отношение или произведение | Отношение y / x постоянно | Произведение xy постоянно |
| Как меняется y при увеличении x | Увеличивается во столько же раз | Уменьшается во столько же раз |
| Вид графика | Прямая через начало координат | Ветви гиперболы |
Пользуйся таблицей, когда нужно быстро сравнить формулы и признаки двух зависимостей. Сначала проверь, что остаётся постоянным: отношение или произведение. Затем сравни, как меняются величины, и выбери подходящую модель.
Задача 1. Стоимость яблок пропорциональна их массе: 2 кг стоят 180 рублей. Нужно узнать стоимость 5 кг. Поскольку цена за килограмм не меняется, стоимость и масса связаны прямой пропорциональностью.
Ответ: 5 кг яблок стоят 450 рублей. Проверка проста: масса увеличилась в 2,5 раза, и стоимость по той же причине увеличилась в 2,5 раза.
Задача 2. Для изготовления одинакового заказа 4 рабочих тратят 12 часов. За сколько часов справятся 6 рабочих, если производительность каждого одинакова? Чем больше работников выполняют один и тот же объём работы, тем меньше требуется времени, поэтому зависимость обратная.
Ответ: 6 рабочих выполнят заказ за 8 часов. Проверка: работников стало в 1,5 раза больше, а время стало в 1,5 раза меньше.
Задача 3. В таблице даны пары значений (2; 15), (3; 10), (5; 6). Определи зависимость, найди коэффициент и вычисли y при x = 10. Здесь полезно проверить произведения: одинаковое произведение укажет на обратную пропорциональность.
Ответ: зависимость обратная, коэффициент равен 30, при x = 10 значение y равно 3.
Ошибка — считать зависимость прямой пропорциональностью лишь потому, что при увеличении x увеличивается y. Такое бывает и у других зависимостей, поэтому одного направления изменения недостаточно. Проверь отношение y / x для каждой пары: при прямой пропорциональности оно должно быть одинаковым.
Иногда путают постоянное отношение и постоянное произведение. Для прямой пропорциональности одинаково отношение y / x, а для обратной одинаково произведение xy. Чтобы не ошибиться, подставь несколько пар значений в оба выражения и проверь, какое из них не меняется.
При обратной пропорциональности нельзя умножать x и y на один и тот же множитель. Если x увеличился в несколько раз, y должен уменьшиться во столько же раз, иначе произведение изменится. Проверь себя, перемножив значения до и после изменения: результаты должны совпасть.
Ещё одна ошибка — называть графиком прямой пропорциональности любую прямую. Но формула y = kx всегда даёт y = 0 при x = 0, значит, её график обязательно проходит через начало координат. Если прямая не проходит через эту точку, она не изображает прямую пропорциональность.
Для изучения пропорциональностей пригодятся умение находить отношение и произведение чисел, читать таблицы и решать задачи на цену, массу и количество. Эти вычисления помогают проверять, подходит ли таблица под формулу, и находить коэффициент зависимости. Без них трудно понять, какая величина постоянна.
Прямая и обратная пропорциональности помогают решать задачи о движении, совместной работе, стоимости покупок, масштабе и переводе единиц. Например, при постоянной скорости расстояние прямо пропорционально времени, а при неизменном пути время обратно пропорционально скорости. Важно определить условия задачи: именно они показывают, какая величина остаётся постоянной.
Как по таблице понять, является ли зависимость прямой пропорциональностью?
Для каждой пары ненулевых значений вычисли y / x. Если во всех строках таблицы получается одно и то же число, зависимость прямая пропорциональная: y = kx.
Как найти коэффициент прямой пропорциональности?
Раздели значение y на соответствующее ему значение x: k = y / x. Например, если x = 2, а y = 10, то k = 5 и формула зависимости — y = 5x.
Почему произведение x и y постоянно при обратной пропорциональности?
При такой зависимости y = k / x. Если обе части равенства умножить на x, получится xy = k, поэтому произведение всегда равно одному и тому же числу.
Как определить, прямая или обратная пропорциональность описывает задачу?
Проверь, что происходит с одной величиной, когда другая меняется в несколько раз. Если обе меняются во столько же раз в одном направлении, зависимость прямая; если одна увеличивается, а другая во столько же раз уменьшается, — обратная. Для точной проверки сравни отношения или произведения.
Почему график прямой пропорциональности обязательно проходит через начало координат?
Формула имеет вид y = kx. При x = 0 значение y тоже равно 0, поэтому точка (0; 0) всегда принадлежит графику.
2. Прямая и обратная пропорциональности
