"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Зависимость между величинами показывает, как значения одной величины связаны со значениями другой. Например, путь велосипедиста зависит от времени движения, а стоимость покупки — от количества товара при известной цене. Чтобы разобраться в такой связи, нужно определить сами величины, понять, какую из них задают, а какую находят, и выбрать удобный способ записи: словами, формулой или таблицей. Это помогает вычислять неизвестные значения и решать практические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Величина — то, что можно измерить или выразить числом. Например, длина дорожки может быть 20 м, время поездки — 2 ч, а стоимость покупки — 300 рублей. Понятие величины помогает точно описывать свойства предметов и события, а не ограничиваться словами «длинный» или «дорогой».
Зависимость между величинами — правило, по которому изменение одной величины связано с изменением другой. Например, если покупать больше одинаковых тетрадей по неизменной цене, общая стоимость увеличится. Это понятие нужно, чтобы предсказывать одно значение, зная другое.
Независимая величина — величина, значение которой выбирают или задают в условии. Например, в задаче о движении можно задать время поездки, а затем выяснить, какой путь проедет велосипедист. Независимую величину удобно обозначать буквой, значение которой подставляют в правило.
Зависимая величина — величина, значение которой находят по значению другой величины и правилу связи. Если известны время движения и скорость, можно вычислить путь: значит, путь зависит от времени. Это определение помогает понять, что именно требуется найти в задаче.
В реальной ситуации величины связаны общим процессом. Например, велосипедист движется с определённой скоростью, и чем дольше длится поездка, тем больший путь он обычно успевает проехать. При постоянной скорости эту связь выражает правило: путь равен скорости, умноженной на время. Само время не создаёт путь отдельно от движения — обе величины описывают один процесс.
Чтобы описать зависимость, сначала назови величины и выясни, какую из них задают, а какую находят. Это важно, потому что одинаковые величины в разных задачах могут играть разные роли: в одной задаче выбирают время и вычисляют путь, в другой задают путь и выясняют время. Роль определяется условием и поставленным вопросом, а не тем, какая величина названа первой.
Зависимость можно описать словами, формулой или таблицей. Словесное описание сообщает правило, но по нему иногда неудобно быстро считать. Формула коротко записывает правило буквами и позволяет вычислять значения, а таблица показывает несколько уже сопоставленных пар. Выбирай способ по задаче: для пояснения подойдут слова, для расчёта — формула, для сравнения нескольких случаев — таблица.
Формула помогает найти зависимую величину для заданного значения независимой. Например, s = 12t означает, что путь s равен 12, умноженному на время t; число 12 здесь — скорость в километрах в час. Если t = 3 ч, вместо t подставляют 3 и получают s = 12 · 3 = 36 км. Подстановка работает потому, что буква обозначает величину, а формула задаёт правило её вычисления.
Выбор независимой величины зависит от смысла задачи. При неизменной цене яблок стоимость покупки определяется их массой: покупатель выбирает, сколько килограммов взять, а стоимость вычисляется. Поэтому масса здесь независимая, а стоимость — зависимая. Если бы в задаче спрашивали, сколько килограммов можно купить на заданную сумму, роли в рассуждении были бы другими.
| Способ описания | Что указывается | Пример: путь и время при постоянной скорости |
|---|---|---|
| Словами — правило связи величин | Как значение одной величины связано с другой | Путь равен скорости, умноженной на время. |
| Формулой — буквы величин и правило вычисления | Обозначения величин и действия для нахождения одной из них | s = vt |
| Таблицей — соответствующие значения величин | Несколько пар значений, где каждому времени соответствует путь | При v = 12 км/ч: t = 1 ч — s = 12 км; t = 2 ч — s = 24 км. |
Сначала найди в таблице, формуле или словесной записи сами величины и их обозначения. Если нужно вычислить новое значение, воспользуйся формулой; если нужно увидеть несколько готовых случаев, сравни строки таблицы. Проверяй, чтобы сопоставленные значения относились к одной и той же зависимости.
Велосипедист движется со скоростью 12 км/ч. Нужно узнать, какой путь он проедет за 3 часа, и определить зависимую и независимую величины. Скорость известна и во время решения не меняется, поэтому путь можно вычислить по формуле s = vt. В этой ситуации время выбирают, а путь находят.
Ответ: за 3 часа велосипедист проедет 36 км; время — независимая величина, путь — зависимая. Проверка смысла показывает, что результат правдоподобен: при движении со скоростью 12 км/ч за три часа путь больше, чем за один час. Единица ответа — километры, потому что найден именно путь.
Один килограмм яблок стоит 90 рублей. Составим формулу стоимости покупки и узнаем, сколько стоят 2,5 кг яблок. Цена за килограмм остаётся неизменной, поэтому стоимость зависит от массы покупки. Массу обозначим m, а стоимость — C.
Ответ: формула стоимости — C = 90m, покупка 2,5 кг яблок стоит 225 рублей. Масса здесь независимая величина: покупатель выбирает её. Стоимость — зависимая, потому что определяется массой при заданной цене.
Дана зависимость y = 4x + 1. Нужно заполнить таблицу для x = 0, 2 и 5 и объяснить, как y зависит от x. Буква x обозначает значение, которое задают, а y вычисляют по правилу. Поэтому x — независимая величина, y — зависимая.
Ответ: таблица содержит пары x = 0, y = 1; x = 2, y = 9; x = 5, y = 21. Чтобы получить y, значение x умножают на 4 и прибавляют 1. При увеличении x от 0 до 2 значение y увеличивается от 1 до 9, а при увеличении x до 5 — до 21.
Иногда зависимую и независимую величины определяют по порядку слов в условии. Но первой названная величина не обязательно независима: решает то, что задают и что требуется вычислить. Проверь себя вопросом: «Какое значение я выбираю, а какое нахожу по правилу?»
При подстановке числа можно заменить не ту букву, особенно если в задаче несколько величин. Тогда даже верные вычисления дадут ответ не на тот вопрос. Перед подстановкой подпиши, что обозначает каждая буква, и замени число только в букве, соответствующей заданной величине.
Нельзя считать, что любые две связанные величины изменяются одинаково. Например, при увеличении времени вдвое путь при постоянной скорости тоже увеличится вдвое, но для другой зависимости такое правило может не подходить. Проверяй связь по формуле или словесному условию, а не переноси правило из знакомой задачи.
Ответ без единиц или с перепутанными единицами может быть непонятным или неверным. Ошибка появляется, если не учитывать, что именно измеряется, например, складывать километры и часы. До вычисления проверь единицы исходных данных, а после — укажи единицу найденной величины и убедись, что она подходит по смыслу.
Для работы с зависимостями нужно уметь обозначать величины буквами, подставлять числа в выражения и выполнять действия с единицами измерения. Эти навыки позволяют правильно записать формулу и понять, что получилось в результате вычислений. Если единицы не совпадают со смыслом ответа, стоит проверить ход решения.
Зависимости пригодятся при изучении координат, функций и графиков: там связь между значениями показывают наглядно и исследуют. Они также встречаются в задачах на движение, стоимость и производительность, где по одним данным находят другие. Понимание зависимости помогает перейти от описания ситуации к вычислениям.
Что называют зависимостью между величинами?
Это правило, которое связывает значения двух или нескольких величин. Например, при постоянной скорости путь находится умножением скорости на время.
Как определить, какая величина зависимая, а какая независимая?
Независимую величину задают или выбирают, а зависимую находят по ней и правилу связи. В задаче о движении при известной скорости обычно задают время, а вычисляют путь.
Можно ли одну зависимость записать разными способами?
Да, одну связь можно описать словами, формулой или таблицей. Формула показывает правило вычисления, а таблица — конкретные пары значений.
Как найти значение зависимой величины по формуле?
Сначала выясни, какая буква обозначает заданную величину, и подставь её значение вместо этой буквы. Затем выполни вычисления и укажи единицы измерения.
Почему важно указывать единицы измерения?
Единицы показывают, что именно измеряет число, и помогают заметить ошибки. Например, путь нельзя записывать просто как 36: нужно указать, что это 36 км.
1. Зависимости между величинами
