"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорциональные величины связаны так, что изменение одной предсказуемо меняет другую. Если отношение их соответствующих значений постоянно, зависимость прямая; если постоянно произведение — обратная. Эти правила помогают находить неизвестные значения в задачах о стоимости, скорости, времени и других величинах. Главное — сначала определить, какая связь подходит, а затем выбрать формулу: y = kx или y = k/x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямо пропорциональные величины — это величины, у которых отношение соответствующих значений постоянно. Если одна увеличилась или уменьшилась в несколько раз, другая изменилась во столько же раз и в ту же сторону. Например, при одной и той же цене большее количество товара стоит дороже в такое же число раз. Это определение помогает отличить точную зависимость от простого совпадения, когда обе величины растут.
Коэффициент пропорциональности — постоянное число k в зависимости y = kx. Оно равно отношению соответствующих значений: k = y/x. Например, если за 1 кг яблок платят 120 рублей, то k = 120 рублей на килограмм. Коэффициент нужен, чтобы по одному известному значению найти другое.
Обратно пропорциональные величины — это величины, произведение соответствующих значений которых постоянно. Если одна величина увеличивается в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Например, при неизменном пути увеличение скорости сокращает время поездки. Постоянное произведение помогает проверить, действительно ли связь обратная.
Зависимость y = k/x задаёт обратную пропорциональность: k — постоянное произведение x и y, то есть k = xy. Если x становится больше, значение дроби k/x становится меньше, поэтому y уменьшается. Коэффициент k показывает, чему равно произведение в каждой соответствующей паре. Эта формула удобна, когда известны коэффициент и одно из значений величин.
Чтобы проверить прямую пропорциональность, сравни отношения соответствующих значений, а не только направление их изменения. Пусть 2 кг крупы стоят 100 рублей, а 5 кг — 250 рублей: 100/2 = 50 и 250/5 = 50. Отношения одинаковы, значит, цена за килограмм не меняется и стоимость прямо пропорциональна массе. Если отношения различаются, такой вывод сделать нельзя.
Если для каждой пары значений отношение y/x равно одному числу k, то y/x = k. Умножим обе части равенства на x и получим y = kx. Коэффициент можно найти по любой известной паре: k = y/x. Например, если x = 4, а y = 12, то k = 12/4 = 3, поэтому зависимость имеет вид y = 3x.
Формула y = kx объясняет одинаковое изменение величин в несколько раз. Если x заменить на 3x, то новое значение y будет k · 3x = 3kx, то есть тоже увеличится втрое. Если x уменьшить, например, в 2 раза, то kx также уменьшится в 2 раза. Это верно, потому что коэффициент k остаётся неизменным.
Для проверки обратной пропорциональности найди произведение каждой пары соответствующих значений. Например, при скорости 40 км/ч автомобиль проходит путь за 3 часа, а при скорости 60 км/ч — за 2 часа: 40 · 3 = 120 и 60 · 2 = 120. Произведения одинаковы, значит, при неизменном пути скорость и время обратно пропорциональны. Если произведения не совпадают, эти пары не подтверждают такую зависимость.
Когда произведение x и y постоянно, его можно обозначить буквой k: xy = k. Разделив обе части на x, получим y = k/x. Если x увеличить в несколько раз, чтобы произведение не изменилось, y нужно уменьшить во столько же раз. Например, при x = 4 и k = 24 значение y равно 6, а при x = 8 оно равно 3. Так формула показывает, почему величины меняются в противоположных направлениях.
| Признак | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Как изменяются величины | Изменяются в одну сторону и во столько же раз | Изменяются в противоположные стороны и во столько же раз |
| Постоянная связь | Отношение соответствующих значений | Произведение соответствующих значений |
| Формула зависимости | y = kx | y = k/x |
| Как найти коэффициент пропорциональности | k = y/x | k = xy |
| Пример из практики | Стоимость и количество товара при постоянной цене | Скорость и время при постоянном пути |
Сначала определи, что именно остаётся неизменным: отношение или произведение. Затем выбери соответствующую формулу и проверь её на известных парах значений. В примерах должны сравниваться именно соответствующие друг другу значения величин.
Задача 1. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Цена одной тетради не меняется, поэтому стоимость прямо пропорциональна количеству. Найдём сначала стоимость одной тетради, а затем — пяти.
Ответ: 150 рублей. Такой ход удобен, потому что сначала мы находим коэффициент прямой пропорциональности — цену одной тетради, а затем используем его для нового значения.
Задача 2. Автомобиль проехал путь за 4 часа со скоростью 60 км/ч. За сколько часов он проедет тот же путь со скоростью 80 км/ч? Путь один и тот же, а значит, произведение скорости на время постоянно. Сначала найдём это произведение, затем разделим путь на новую скорость.
Ответ: 3 часа. Время получилось меньше, потому что скорость увеличилась, а расстояние не изменилось. Произведение скорости и времени в обеих парах равно 240.
Задача 3. При x = 6 значение y = 15. Найти y при x = 10 и проверить, принадлежит ли зависимости пара (4; 9). Поскольку речь идёт о прямой пропорциональности, отношение y/x должно быть одинаковым для каждой пары. Сначала найдём это постоянное отношение.
Ответ: при x = 10 значение y = 25; пара (4; 9) зависимости не принадлежит. Проверка отношения позволяет не подменять принадлежность пары простым сравнением её чисел.
Ошибка — считать величины прямо пропорциональными только потому, что обе увеличиваются. Такое может случаться и при другой зависимости, поэтому одного направления изменения недостаточно. Составь пары значений и проверь, одинаковы ли отношения y/x. Если они различаются, прямая пропорциональность не подтверждена.
Иногда прямую и обратную пропорциональность путают, используя не тот постоянный показатель. При прямой постоянным является отношение, а при обратной — произведение. Путаница возникает, если смотреть только на то, как меняются числа. Проверяй себя подстановкой двух пар: дели значения друг на друга для прямой связи и перемножай для обратной.
Формулу обратной пропорциональности можно ошибочно записать как y = kx вместо y = k/x. Чтобы проверить себя, увеличь x, например, вдвое: при обратной зависимости y должно уменьшиться вдвое. Формула y = kx, напротив, увеличит y тоже вдвое. Значит, для обратной зависимости она не подходит.
При вычислении отношений и произведений важно не перепутать соответствующие пары и единицы измерения. Например, нельзя сравнивать скорость в километрах в час с путём в километрах так, словно это одноимённые величины. Ошибку часто замечают после неверного расчёта коэффициента. Подпиши значения, проверь, что пары соответствуют друг другу, и приведи единицы к согласованному виду.
Для работы с пропорциональными величинами нужно уметь составлять и сравнивать отношения, находить неизвестный член пропорции и выполнять действия с дробями. Эти знания помогают проверять постоянство отношения и вычислять коэффициент. Пропорциональные зависимости встречаются в задачах на скорость, время и путь, стоимость и количество, производительность и совместную работу. Позже они пригодятся при изучении зависимостей между величинами, их формул и графиков.
Как понять, что величины прямо пропорциональны?
Составь пары соответствующих значений и раздели второе значение каждой пары на первое. Если во всех парах получается одно и то же число, величины прямо пропорциональны. Тогда зависимость можно записать как y = kx.
Чем прямая пропорциональность отличается от обратной?
При прямой пропорциональности постоянным остаётся отношение соответствующих значений, а величины изменяются в одну сторону. При обратной пропорциональности постоянно произведение, и если одна величина растёт, другая уменьшается.
Как найти коэффициент пропорциональности?
Для прямой пропорциональности раздели y на x: k = y/x. Для обратной пропорциональности найди произведение: k = xy. В обоих случаях можно использовать любую известную пару соответствующих значений.
Почему при обратной пропорциональности произведение величин постоянно?
Так устроена сама зависимость: если y = k/x, то при умножении обеих частей на x получаем xy = k. Поэтому для любой соответствующей пары произведение равно одному и тому же числу.
Могут ли две одновременно возрастающие величины быть не прямо пропорциональными?
Да. Само по себе одновременное увеличение не доказывает прямую пропорциональность. Нужно проверить, одинаково ли отношение соответствующих значений во всех парах.
§ 4. Пропорциональные величины.
