"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a:b = c:d. Она помогает сравнивать величины и находить неизвестное, когда известны три члена. Главное правило: произведение крайних членов равно произведению средних. Благодаря этому свойству пропорцию можно преобразовывать, а уравнения с отношениями — решать удобным способом. При этом нужно следить, чтобы знаменатели не обращались в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорция — равенство двух отношений вида a:b = c:d или a/b = c/d. Иначе говоря, сравниваются две пары величин: отношение в левой части должно быть таким же, как в правой. Это понятие нужно, чтобы записывать равные отношения коротко и находить неизвестные величины.
Крайние члены пропорции — первый и последний члены записи a:b = c:d, то есть a и d. Они находятся на разных концах равенства, поэтому их удобно узнавать по положению, а не по числовому значению. Это название помогает запомнить, какие два числа образуют одно из произведений в основном свойстве.
Средние члены пропорции — второй и третий члены записи a:b = c:d, то есть b и c. Они расположены между крайними членами. Различать средние и крайние нужно, чтобы не перепутать множители при проверке пропорции или поиске неизвестного.
Основное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов равно произведению средних. Для a:b = c:d это записывают так: a·d = b·c. Свойство превращает равенство отношений в обычное равенство произведений, с которым проще выполнять вычисления и решать уравнения.
Пусть a/b = c/d, причём b ≠ 0 и d ≠ 0. Чтобы убрать знаменатели, можно умножить обе части равенства на bd: слева получится a·d, а справа — b·c. Поэтому выходит ad = bc; именно так возникает правило умножения крест-накрест. Обратно, если ad = bc и b, d не равны нулю, разделение обеих частей на bd возвращает равенство отношений.
Средние члены можно переставить: из a:b = c:d получить a:c = b:d. В новой записи произведение крайних — a·d, а произведение средних — c·b, и это те же множители, что были в равенстве ad = bc. Поэтому пропорция сохраняется, если все знаменатели в новой записи допустимы. По той же причине можно поменять местами крайние члены и получить d:b = c:a: произведения снова равны, только записаны в другом порядке.
Если известны три члена пропорции, четвёртый находят с помощью равенства произведений. Например, если неизвестный входит в произведение средних, сначала умножают крайние, а затем делят результат на известный средний член. Если неизвестный стоит в произведении крайних, рассуждают аналогично. Делить можно только на ненулевое число, поэтому условия на знаменатели и множители нельзя игнорировать.
Пропорцию можно преобразовать несколькими способами: поменять её части местами, перевернуть оба отношения или переставить средние либо крайние члены. Такие записи равносильны исходной, то есть описывают то же равенство, если необходимые знаменатели не равны нулю. Переворачивать следует оба отношения: из a:b = c:d получается b:a = d:c, а не запись с перевёрнутой только одной частью. Выбирай преобразование, которое делает вычисление удобнее.
Каждый переход опирается на равенство произведений или на одинаковое изменение обеих частей равенства, поэтому проверяй, что именно было изменено. Если знаменатель стал нулём, соответствующее отношение не существует, даже если преобразованное уравнение дало числовой ответ. После решения подставь найденное значение в исходную запись и проверь знаменатели. Такая проверка отсекает недопустимые значения и помогает заметить ошибку в вычислениях.
Таблица показывает, какую запись можно получить из исходной пропорции и при каком условии преобразование допустимо. Сначала найди нужную строку, затем проверь знаменатели в полученной записи. Буквы здесь обозначают числа, а знаменатель отношения не должен быть равен нулю.
| Свойство или преобразование | Исходная пропорция | Полученная запись и условие применения |
|---|---|---|
| Основное свойство пропорции | a:b = c:d | ad = bc; b ≠ 0, d ≠ 0 |
| Перестановка средних членов | a:b = c:d | a:c = b:d; знаменатели b, c, d не равны нулю |
| Перестановка крайних членов | a:b = c:d | d:b = c:a; знаменатели b, a не равны нулю |
| Перестановка частей пропорции | a:b = c:d | c:d = a:b; b ≠ 0, d ≠ 0 |
| Переворачивание отношений | a:b = c:d | b:a = d:c; a ≠ 0, c ≠ 0 |
Задача 1. Проверьте, является ли равенство 3:5 = 12:20 пропорцией. Сравним произведения крайних и средних членов: если они равны, исходные отношения равны. Важно правильно определить пары: крайние здесь 3 и 20, средние — 5 и 12.
Ответ: да, это пропорция.
Задача 2. Найдите x: 7:x = 21:15. Сначала отметим ограничение: x стоит в знаменателе, поэтому x ≠ 0. Затем используем основное свойство, чтобы заменить равенство отношений уравнением и найти неизвестное.
Ответ: x = 5.
Задача 3. Найдите x: (x − 2):(x + 1) = 3:5. Здесь неизвестное входит в оба выражения, а x + 1 является знаменателем, поэтому сначала учитываем условие x + 1 ≠ 0. После этого составляем уравнение по основному свойству и проверяем найденное значение.
Ответ: x = 13/2.
Крайние и средние члены иногда определяют по величине чисел: например, считают крайними самые большие. Но названия зависят только от мест в записи. Чтобы проверить себя, расположи четыре члена как a:b = c:d и отметь первый с последним как крайние, два внутренних — как средние.
Другая ошибка — перемножать соседние числа, а не крест-накрест. Так вместо ad = bc получают неверное равенство, которое не следует из пропорции. Перед вычислениями выпиши крайние и средние отдельно и составь два произведения: крайние вместе, средние вместе.
При перестановке одного члена можно изменить только одну часть пропорции и случайно нарушить равенство. Например, если переворачивают отношения, нужно перевернуть оба, а не только одно. Проверь преобразование по основному свойству: произведения крайних и средних в новой записи должны совпадать.
После нахождения неизвестного иногда забывают проверить знаменатель. Тогда принимают ответ, при котором отношение не определено, например знаменатель обращается в ноль. Подставь найденное число именно в исходные знаменатели; если хотя бы один равен нулю, значение нужно исключить.
Для работы с пропорциями нужно уметь составлять и сокращать отношения, выполнять действия с дробями и решать простые уравнения. Эти навыки позволяют записать пропорцию, преобразовать её и вычислить неизвестный член. Пропорции применяют в задачах на масштаб, проценты, скорость, стоимость и прямую пропорциональную зависимость. Умение преобразовывать их также подготавливает к решению более сложных уравнений и работе с алгебраическими дробями.
Как быстро определить крайние и средние члены пропорции?
Запишите пропорцию в виде a:b = c:d. Крайние члены стоят по краям записи — это a и d, а средние находятся внутри — b и c. Их называют по месту, а не по величине числа.
Почему в пропорции перемножают именно крест-накрест?
В равенстве a/b = c/d можно умножить обе части на bd, если знаменатели не равны нулю. Получится ad = bc: перемножаются члены, расположенные крест-накрест. Это и есть основное свойство пропорции.
Можно ли поменять местами только два средних члена?
Да. Из a:b = c:d получается a:c = b:d, если нужные знаменатели не равны нулю. Равенство сохраняется благодаря основному свойству пропорции.
Чем пропорция отличается от обычного равенства двух дробей?
Запись a/b = c/d и есть равенство двух дробей, то есть пропорция, если знаменатели не равны нулю. Для пропорции используют специальные названия членов и правило о равенстве произведений крайних и средних.
Зачем проверять знаменатель после нахождения неизвестного?
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, иначе дробь не определена. Поэтому найденное значение подставляют в знаменатели исходной пропорции. Если какой-то знаменатель становится нулём, это значение не подходит.
4. Свойства и преобразование пропорций
