"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a:b = c:d. Она помогает сравнивать величины и решать задачи на масштаб, проценты и зависимость величин. Главное свойство пропорции связывает её члены: произведение крайних равно произведению средних. Благодаря этому равенство отношений можно преобразовывать и находить неизвестный член. При каждом преобразовании нужно следить, чтобы знаменатели отношений не оказались равны нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорция — это равенство двух отношений: a:b = c:d. Здесь a, b, c и d — члены пропорции, а знак равенства показывает, что отношения имеют одинаковое значение. Например, 1:2 = 3:6, потому что оба отношения равны половине. Пропорции помогают записывать и проверять равные отношения величин.
В записи a:b = c:d числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Такое название зависит от места числа в записи: крайние стоят по краям, средние — между ними. Различать эти пары нужно, чтобы правильно применить основное свойство пропорции. Оно позволяет заменить равенство отношений более простым равенством произведений.
Основное свойство пропорции состоит в том, что произведение крайних членов равно произведению средних: ad = bc. Отношения в записи должны иметь смысл, поэтому b и d не могут быть нулём. Свойство удобно тем, что помогает проверить пропорцию или составить уравнение для неизвестного члена. Если равенство произведений выполнено, то при допустимых знаменателях отношения равны.
Обратной пропорцией здесь называют пропорцию, полученную перестановкой средних или крайних членов либо обращением обоих отношений. Например, из a:b = c:d можно получить a:c = b:d или b:a = d:c. Эти записи равносильны исходной при условии, что отношения в них допустимы. Значит, знаменатели новых отношений также должны быть ненулевыми.
Преобразование пропорции — это получение из неё равносильной записи с помощью свойств пропорции. Равносильность означает, что новая запись выражает то же равенство и не меняет допустимые значения неизвестных. При преобразовании полезно сначала проверять равенство произведений, а затем — знаменатели. Это не позволяет случайно включить в ответ недопустимое значение.
Пусть a:b = c:d, причём b ≠ 0 и d ≠ 0. Запись отношений можно представить дробями a/b и c/d, а равные дроби разрешается умножить на одно и то же ненулевое число. Умножим обе части равенства на bd: слева получим (a/b) · bd = ad, справа — (c/d) · bd = bc. Поэтому ad = bc, то есть крайние члены дают такое же произведение, как средние.
Обратный переход тоже возможен, но только при ненулевых b и d. Если ad = bc, разделим обе части равенства на bd: слева останется a/b, справа — c/d. Значит, a:b = c:d. Проверка знаменателей нужна именно потому, что деление на ноль невозможно; без неё переход к отношениям мог бы быть неправильным.
Рассмотрим перестановку средних членов и запишем a:c = b:d. Чтобы убедиться, что это та же пропорция, применим основное свойство к новой записи: произведение крайних равно ad, а произведение средних — cb. Получается ad = bc — исходное равенство произведений. Поэтому новая запись верна, если её знаменатели c и d не равны нулю.
Если поменять местами крайние члены, получается d:b = c:a. Основное свойство для этой записи даёт произведения da и bc, которые равны по исходной пропорции. Обращение обоих отношений даёт b:a = d:c: здесь произведения крайних и средних снова равны, поскольку исходное равенство можно прочитать как ad = bc. Для перестановки крайних нужны b ≠ 0 и a ≠ 0, а при обращении обоих отношений — a ≠ 0 и c ≠ 0.
Чтобы найти неизвестный член, сначала выбери преобразование, которое позволит записать основное свойство и получить уравнение. Например, из x:6 = 5:15 следует 15x = 6 · 5: неизвестный множитель оказался в произведении крайних. Решив уравнение, получим x = 2. Затем нужно проверить, что знаменатели исходной пропорции не равны нулю, и подставить найденное значение для проверки равенства отношений.
| Запись | Что изменяется | Условие допустимости |
|---|---|---|
| a:b = c:d | Исходная пропорция | b ≠ 0, d ≠ 0 |
| ad = bc | Произведение крайних равно произведению средних | Для перехода к пропорции: b ≠ 0, d ≠ 0 |
| a:c = b:d | Перестановка средних членов | c ≠ 0, d ≠ 0 |
| d:b = c:a | Перестановка крайних членов | b ≠ 0, a ≠ 0 |
| b:a = d:c | Обращение обоих отношений | a ≠ 0, c ≠ 0 |
Сначала найди нужную запись в первом столбце, а затем проверь, подходят ли знаменатели по третьему столбцу. Второй столбец напоминает, какое именно изменение произошло. Для проверки любой допустимой пропорции можно перемножить её крайние и средние члены.
Чтобы проверить равенство отношений, не обязательно делить числа друг на друга. По основному свойству достаточно сравнить произведение крайних членов с произведением средних. В записи 3:5 = 12:20 крайние — 3 и 20, средние — 5 и 12. Все знаменатели равны 5 и 20, поэтому отношения допустимы.
Ответ: да, 3:5 = 12:20 — пропорция. Проверка по произведениям подтверждает равенство, а знаменатели не равны нулю.
Неизвестный член находится в первом отношении, поэтому удобно сразу применить основное свойство. В пропорции крайние члены — x и 15, средние — 6 и 5. Получим уравнение с одним неизвестным и решим его обычным способом.
Ответ: x = 2. Проверка показывает, что найденное значение подходит и делает отношения равными.
В записи 4:7 = 12:21 средние члены — 7 и 12. Чтобы получить отношение 4:12 первым, нужно переставить средние члены; тогда второе отношение станет 7:21. Проверим новую запись основным свойством, а также убедимся, что знаменатели не равны нулю.
Ответ: 4:12 = 7:21. Равенство произведений и ненулевые знаменатели подтверждают, что преобразование выполнено правильно.
Иногда перемножают не крайние и средние, а пары чисел, которые просто стоят рядом или занимают одинаковое место. Так бывает, когда не определили члены пропорции перед вычислением. В записи a:b = c:d сначала отметь крайние a и d, затем средние b и c. После этого проверь, что сравниваешь именно ad и bc.
Другая ошибка — переставить только один член отношения и объявить полученную запись равносильной. Одна случайная перестановка обычно меняет отношения и нарушает равенство произведений. Преобразование должно соответствовать свойству пропорции, например перестановке двух средних членов. Проверь результат умножением крайних и средних членов новой записи.
При переходе от равенства произведений к пропорции можно ошибочно разделить на ноль. Это происходит, если проверяют только вычисления и забывают, что знаменатель должен быть ненулевым. Перед делением проверь каждый знаменатель в новой записи. Если он равен нулю, такая пропорция не имеет смысла.
Найдя неизвестный член, некоторые сразу записывают ответ без проверки. Вычислительная ошибка или недопустимое значение тогда могут остаться незамеченными. Подставь найденное число в исходную пропорцию и сравни отношения или проверь равенство произведений. Заодно убедись, что ни один знаменатель не стал нулём.
Для работы с пропорциями нужно уметь сравнивать и делить отношения, понимать равенство дробей, умножать и делить числа. Эти навыки помогают переходить от отношений к произведениям без лишних действий. Позже свойства пропорций пригодятся в задачах на прямую и обратную пропорциональность, масштаб и проценты. Преобразования пропорций также станут основой для решения уравнений и работы с отношениями в дальнейшей математике.
Как определить крайние и средние члены пропорции?
В записи a:b = c:d крайними называют первый и последний члены: a и d. Средние — два члена посередине: b и c.
Почему произведение крайних членов равно произведению средних?
Если b и d не равны нулю, умножаем обе части равенства a:b = c:d на bd. Слева получаем ad, справа — bc, поэтому ad = bc.
Какие члены пропорции можно переставлять?
Можно поменять местами средние или крайние члены, а также обратить оба отношения. Например, из a:b = c:d можно получить a:c = b:d. После преобразования равенство произведений должно сохраняться, а знаменатели — быть ненулевыми.
Можно ли делить на ноль при преобразовании пропорции?
Нет, деление на ноль не определено. Перед переходом от равенства произведений к отношениям проверь, что все знаменатели в новой записи не равны нулю.
Как найти неизвестный член пропорции?
Сначала запиши основное свойство: произведение крайних равно произведению средних. Затем составь уравнение, реши его и подставь найденное значение в исходную пропорцию, проверив, что знаменатели не равны нулю.
4. Свойства и преобразование пропорций
