3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции

Определения и обозначения

Отношением двух чисел называют их частное: первое число делят на второе. Его записывают a:b или a/b, где a — первый член отношения, а b — второй. Например, 6:3 = 2: такой расчёт показывает, сколько раз первое число содержит второе. Отношение помогает сравнивать числа и описывать, сколько частей одного приходится на другое.

Пропорция — это равенство двух отношений. Её общая запись — a:b = c:d, то есть a/b = c/d. Например, 2:3 = 8:12 — пропорция, потому что оба отношения равны 2/3. Запись нужна, чтобы показать, что две пары чисел имеют одинаковое отношение.

В пропорции a:b = c:d крайними членами называют a и d, то есть первый и последний члены записи. Их произведение используется при проверке пропорции и при поиске неизвестного числа. Например, в 2:3 = 8:12 крайние члены — 2 и 12. Название «крайние» помогает не перепутать их с числами в середине.

Средние члены в записи a:b = c:d — это b и c, числа между крайними. По основному свойству их произведение должно совпадать с произведением крайних. В пропорции 2:3 = 8:12 средние члены — 3 и 8. Умение находить обе пары нужно, чтобы правильно записать проверку или уравнение.

Как это устроено

Чтобы понять, равны ли два отношения, удобно представить каждое из них дробью: a:b становится a/b, а c:d — c/d. После этого сравнивают дроби, например приводят их к общему знаменателю или сокращают. Такой способ показывает, что запись с двоеточием не меняет смысла деления. Он особенно полезен, если числа можно сократить: например, 8/12 = 2/3.

Основное свойство можно вывести из равенства a/b = c/d. При ненулевых b и d умножим обе части равенства на bd: слева получится (a/b) · bd = ad, а справа (c/d) · bd = bc. Значит, ad = bc. Умножение допустимо, потому что равные числа остаются равными, если умножить их на одно и то же число; условие b ≠ 0 и d ≠ 0 позволяет выполнять деление.

Для проверки пропорции не обязательно делить числа и сравнивать дроби: достаточно найти произведения крайних и средних членов. Если они равны, пропорция верна; если различаются, равенство отношений неверно. Например, для 2:3 = 8:12 крайние дают 2 · 12 = 24, а средние — 3 · 8 = 24. Совпадение результатов подтверждает пропорцию.

Если один член неизвестен, основное свойство превращает пропорцию в уравнение. Например, в a:b = c:x произведение крайних равно произведению средних: a · x = b · c. Затем неизвестное находят обычными действиями, разделив обе части на множитель при x, если он не равен нулю. Так вместо сравнения отношений получается знакомая задача на решение уравнения.

Положение членов зависит от того, как записана пропорция: при изменении порядка записи меняются и крайние со средними. Поэтому перед вычислениями полезно прямо отметить первый и последний члены, а затем два числа посередине. Например, в 2:3 = 8:12 крайние — 2 и 12, а в записи 2:3 = 12:8 крайними уже будут 2 и 8. Верное определение членов помогает не составить ошибочное равенство произведений.

Элементы пропорции и их свойства

Сначала найди в записи два отношения, затем определи крайние и средние члены. По таблице можно проверить себя: для верной пропорции произведения этих пар должны совпасть. Если требуется найти неизвестное число, запиши такое равенство произведений и реши уравнение.

Разбор задач

Проверка пропорции

Задача. Проверьте, является ли равенство 2:3 = 8:12 пропорцией. Нужно выяснить, равны ли отношения, а не просто проверить, что в записи стоят четыре числа. Воспользуемся основным свойством: оно позволяет сравнить произведения членов без деления.

1. В записи 2:3 = 8:12 крайние члены — 2 и 12, а средние — 3 и 8. Сначала определяем их положение по записи, чтобы не перемножить не те числа. Теперь можно составить равенство произведений.
2. Вычисляем произведение крайних: 2 · 12 = 24. Затем вычисляем произведение средних: 3 · 8 = 24. Результаты совпали, значит равенство является пропорцией.

Ответ: да, 2:3 = 8:12 — пропорция.

Неизвестный член пропорции

Задача. Найдите x из пропорции 5:8 = x:24. Неизвестный член входит в одно из отношений, поэтому сначала заменим равенство отношений равенством произведений. Так получим уравнение, которое можно решить знакомым способом.

1. Записываем крайние члены: 5 и 24; средние: 8 и x. Их произведения должны быть равны, поэтому 5 · 24 = 8x. Такой порядок следует из записи 5:8 = x:24.
2. Вычисляем левую часть: 120 = 8x. Делим обе части на 8 и получаем x = 15. Проверка: 5/8 = 15/24, так как дробь 15/24 сокращается до 5/8.

Ответ: x = 15.

Задача о напитке

Задача. Сироп и воду смешивают в отношении 2:7. Сколько литров воды нужно взять на 6 литров сиропа? Отношение означает, что на каждые 2 части сиропа приходится 7 таких же частей воды. Составим пропорцию, сохраняя порядок «сироп : вода» в обеих парах.

1. Обозначим количество воды через x литров. По условию отношение сиропа к воде равно 2:7, а при 6 литрах сиропа оно равно 6:x. Получаем пропорцию 2:7 = 6:x.
2. Крайние члены здесь 2 и x, средние — 7 и 6. По основному свойству 2x = 7 · 6 = 42, поэтому x = 42 : 2 = 21. Проверим: 6:21 сокращается до 2:7, значит соотношение соблюдено.

Ответ: нужно взять 21 литр воды.

Типичные ошибки

Иногда пропорцией называют любое равенство, в котором есть четыре числа. Но должны быть равны именно два отношения: в записи 2:3 = 8:12 сравниваются 2:3 и 8:12. Ошибка возникает, если не замечать знак деления и порядок чисел. Проверь себя: каждую часть равенства можно записать отдельной дробью.

Можно перепутать крайние и средние члены, особенно если изменить порядок чисел. В записи a:b = c:d крайние — a и d, а средние — b и c; эти названия определяются местом в записи. Чтобы не ошибиться, сначала выпиши обе пары. Проверь себя по схеме «первый с последним, два средних между собой».

При проверке иногда находят произведение крайних, но забывают сравнить его с произведением средних. Само по себе вычисление a · d ещё не доказывает, что запись верна. Нужно отдельно посчитать b · c и проверить равенство ad = bc. Если результаты различаются, пропорция неверна.

Нельзя применять отношение, если его второй член равен нулю: деление на ноль не определено. Такая ошибка может появиться, когда число подставляют в пропорцию, не проверив знаменатели. Перед вычислениями убедись, что оба вторых члена отношений ненулевые. Если один из них равен нулю, исходная запись не является допустимой пропорцией.

Связь с другими темами

Для работы с отношениями нужны навыки деления, записи частного в виде дроби и умножения. Поэтому при проверке пропорции полезно уверенно сокращать дроби и вычислять произведения. Новое правило связывает эти действия: равенство отношений можно заменить равенством произведений. Это позволяет решать неизвестные величины через уравнения.

Пропорции встречаются в задачах на масштаб, проценты и прямую пропорциональную зависимость. Например, с их помощью можно пересчитать расстояние на карте или количество продуктов в рецепте, если порции изменились. В таких задачах важно сопоставлять величины в одном и том же порядке. Тогда отношение описывает условие, а основное свойство помогает найти нужное число.

Что запомнить

• Пропорция — это равенство двух отношений.
• В записи a:b = c:d крайние члены — a и d.
• В записи a:b = c:d средние члены — b и c.
• В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: ad = bc.
• Основным свойством можно проверить пропорцию и найти её неизвестный член.
• В отношении знаменатель, или второй член, не может быть равен нулю.