"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Масштаб показывает, во сколько раз длина на карте, плане или чертеже меньше соответствующей длины в действительности. Он нужен, чтобы изображать большие объекты на листе и по изображению находить настоящие расстояния и размеры. Масштаб записывают числом, словами или в виде шкалы. Главное правило: сравнивать длины можно только в одинаковых единицах, а запись 1:n означает, что одной единице на изображении соответствуют n таких же единиц в действительности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — отношение длины отрезка на изображении к соответствующей действительной длине. Например, можно сравнить отрезок на плане с настоящей длиной стены. Обе длины обязательно выражают в одинаковых единицах: только тогда их отношение можно правильно вычислить. Масштаб помогает понять, как изображение связано с реальным объектом.
Численный масштаб записывают отношением 1:n, где n показывает, во сколько раз изображение уменьшено. Запись 1:1000 означает, что одной единице на изображении соответствуют 1000 таких же единиц в действительности. Например, 1 см на карте соответствует 1000 см на местности. Такая запись удобна для вычислений.
Именованный масштаб словами указывает, какой действительной длине соответствует единица длины на изображении. Например: 1 см — 10 м. Эта запись сразу сообщает, сколько метров в действительности представлено одним сантиметром на плане. Именованный масштаб удобно читать, когда нужно быстро оценить расстояние.
Линейный масштаб — шкала на карте или плане, с помощью которой находят действительное расстояние измерением отрезка. На шкале делениям соответствуют расстояния на местности. Достаточно приложить к ней измеренный на карте отрезок и посмотреть, какой длине он равен. Такой способ полезен, когда не хочется выполнять вычисления по численному масштабу.
Представь, что на плане один отрезок уменьшили в 5 раз, а другой — в 10 раз. Тогда углы и расстояния между объектами изменятся неодинаково, и изображение уже не будет похоже на местность. Поэтому все длины уменьшают в одно и то же число раз. Так сохраняются форма объектов и их взаимное расположение, а найденные по плану расстояния можно сравнивать.
Чтобы получить численный масштаб, раздели длину на изображении на соответствующую действительную длину, предварительно переведя их в одинаковые единицы. Например, 2 см на плане соответствуют 200 см в действительности: отношение равно 2:200. Сократи обе части на 2 и получи 1:100. Первая часть обычно равна 1, чтобы было легко увидеть, сколько единиц действительности соответствует одной единице на изображении.
Численный масштаб можно преобразовать в именованный. Например, в масштабе 1:1000 одному сантиметру на изображении соответствуют 1000 см в действительности. Переведи сантиметры в метры: 1000 см = 10 м, значит, именованный масштаб — 1 см — 10 м. Если число получилось большим, его удобно перевести также в километры, чтобы расстояние легче было представить.
Для обратного перехода составь отношение по именованному масштабу и сначала приведи единицы к одинаковым. Пусть 1 см на плане соответствует 10 м на местности. Переведи 10 м в сантиметры: это 1000 см, поэтому отношение равно 1 см : 1000 см, или 1:1000. Нельзя сразу записать 1:10: здесь сантиметры сравнивались бы с метрами, а не с такими же единицами.
Чтобы найти неизвестную длину, сначала выясни, что дано: отрезок на изображении или действительное расстояние. При масштабе 1:n действительная длина в n раз больше длины на изображении, поэтому изображённый отрезок умножают на n. А длину изображения получают делением действительной длины на n. Перед действием согласуй единицы и после вычисления проверь, подходит ли ответ по смыслу: настоящая длина должна быть больше изображения.
В таблице собраны три способа представлять масштаб и подсказки, как ими пользоваться. Сначала определи, какая запись дана в условии, а затем выбери соответствующее действие. При переходе между записями не забывай проверять единицы длины.
| Вид масштаба | Как записывается | Что показывает | Как использовать |
|---|---|---|---|
| Численный масштаб | 1:n, например 1:1000 | Скольким единицам в действительности соответствует одна единица изображения | Умножить длину изображения на n или разделить действительную длину на n |
| Именованный масштаб | Например, 1 см — 10 м | Какая действительная длина соответствует единице на изображении | Перевести единицы и найти нужное расстояние по указанному соответствию |
| Линейный масштаб | Шкала с делениями и подписями расстояний | Какому расстоянию на местности равен отрезок на изображении | Измерить отрезок и сопоставить его со шкалой |
Задача 1. На карте с масштабом 1:100 000 расстояние между двумя пунктами равно 3 см. Найдём действительное расстояние. Здесь известна длина изображения, а число масштаба показывает, во сколько раз настоящая длина больше. Поэтому сантиметры на карте сначала переводить не нужно: умножаем их на 100 000 и затем выбираем удобную единицу.
Ответ: расстояние между пунктами равно 3 км. Проверка помогает убедиться, что результат разумен: короткий отрезок на карте может соответствовать большому расстоянию на местности.
Задача 2. Расстояние 12 км изображено на плане отрезком длиной 6 см. Запишем масштаб численно и именованно. Для численного масштаба нужно сравнить длины в одинаковых единицах, поэтому переведём 12 км в сантиметры. Затем сократим полученное отношение до вида 1:n.
Ответ: численный масштаб — 1:200 000, именованный — 1 см — 2 км. Можно проверить результат: 6 см на плане соответствуют 6 · 2 км, то есть 12 км.
Задача 3. Комната длиной 4,8 м и шириной 3,6 м изображена на плане в масштабе 1:80. Найдём размеры изображения. Здесь известны действительные размеры, поэтому нужно разделить каждый из них на 80. Сначала выразим метры в сантиметрах, чтобы получить длину плана в удобных единицах.
Ответ: размеры комнаты на плане — 6 см и 4,5 см. Проверим умножением: 6 см · 80 = 480 см, а 4,5 см · 80 = 360 см, то есть исходные размеры комнаты.
Первая ошибка — сравнивать сантиметры на карте с метрами на местности, не переводя их в одинаковые единицы. Так можно получить неправильное отношение, потому что в одном метре 100 сантиметров. Ошибку допускают, когда хотят сократить вычисления и забывают, что числа относятся к разным единицам. Проверь себя: перед записью отношения подпиши единицы и убедись, что они совпадают.
Вторая ошибка — поменять местами длину изображения и действительную длину. Масштаб показывает именно отношение изображения к действительности, а не наоборот. Такое случается, если не обратить внимания на то, какая величина меньше. Проверь себя: численный масштаб карты обычно имеет вид 1:n, где n больше 1.
Третья ошибка — при поиске действительной длины делить длину на изображении на число масштаба. Деление здесь ещё сильнее уменьшит маленький отрезок, хотя настоящая длина должна быть больше. Ошибаются, путая действие для нахождения длины изображения с действием для нахождения действительной длины. Проверь выбор: от изображения к действительности при масштабе 1:n нужно умножать.
Четвёртая ошибка — понимать 1:1000 как уменьшение на 1000 каких-то единиц. Эта запись означает, что одной единице на изображении соответствуют 1000 таких же единиц в действительности. Путаница возникает, если не прочитать отношение как соответствие двух длин. Проверь себя на примере: 1 см на изображении — это 1000 см, а не 1000 м в действительности.
Для работы с масштабом нужны умения составлять и сокращать отношения, переводить единицы длины и выполнять действия с величинами. Эти навыки помогают записывать масштаб правильно и проверять вычисления. Масштаб пригодится при чтении карт и планов, изготовлении чертежей и макетов. Он также связан с пропорциональными зависимостями: если длина изображения увеличивается в несколько раз, соответствующая действительная длина меняется во столько же раз.
Что означает масштаб 1:100 000?
Одной единице длины на карте соответствуют 100 000 таких же единиц в действительности. Например, 1 см на карте — это 100 000 см, то есть 1 км на местности.
Почему перед вычислением масштаба нужно переводить длины в одинаковые единицы?
Отношение сравнивает величины, выраженные в одинаковых единицах. Если сравнить сантиметры с метрами без перевода, результат будет неверным.
Как по масштабу карты найти расстояние на местности?
Умножь длину отрезка на карте на число после двоеточия. Перед вычислением вырази обе величины в одинаковых единицах, а затем переведи ответ в удобные, например сантиметры — в километры.
Как определить масштаб, если известны длина на плане и действительная длина?
Переведи длины в одинаковые единицы и составь отношение длины на плане к действительной длине. Сократи его так, чтобы первая часть стала равна 1: получишь масштаб 1:n.
Чем численный масштаб отличается от именованного?
Численный масштаб записывают отношением, например 1:1000, без названий единиц. Именованный показывает соответствие словами, например 1 см — 10 м.
2. Масштаб
