"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорция — это равенство двух отношений, например 3:5 = 12:20. Она помогает сравнивать части величин и находить неизвестное число в задачах. Главное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому равенство можно проверить умножением крест-накрест, а неизвестный член — найти с помощью уравнения. Нужно только правильно определить расположение членов и помнить, что делить на ноль нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение — это частное двух чисел, его записывают a:b или a/b. Второе число должно быть ненулевым, потому что деление на ноль не определено. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно составляет от другого. Оно нужно, чтобы сравнивать величины и переходить к пропорциям.
Пропорция — равенство двух отношений, например a:b = c:d. Такая запись означает, что оба частных имеют одинаковое значение. Чтобы понять, верно ли равенство, можно вычислить отношения или сравнить произведения членов крест-накрест. Пропорции помогают сравнивать пары величин и находить неизвестные числа.
В записи a:b = c:d первый и четвёртый члены, a и d, называются крайними. Второй и третий, b и c, называются средними. Названия зависят от места числа в записи, а не от его величины. Это нужно знать, чтобы правильно применить свойство пропорции.
Основное свойство пропорции состоит в том, что произведение крайних членов равно произведению средних: если a:b = c:d, то ad = bc. Поэтому отношение можно проверить, не выполняя деление. Это свойство также используют, чтобы составить уравнение и найти неизвестный член.
Пропорция утверждает, что два отношения имеют одно и то же значение. Например, в равенстве 3:5 = 12:20 оба отношения равны 0,6. Проверить это можно делением, но с целыми числами часто удобнее сравнить перекрёстные произведения. Если результаты одинаковы и делители не равны нулю, отношения равны.
Основное свойство следует из смысла отношения как частного. Если a/b = c/d, то можно умножить обе части равенства на одно и то же число bd, не нарушая равенства. Тогда слева получится a·d, а справа — c·b, поэтому ad = bc. Для этого b и d должны быть ненулевыми: именно на них мы делим в исходных отношениях.
Верно и обратное рассуждение: если ad = bc, а b и d не равны нулю, равные произведения можно разделить на bd. Получится a/b = c/d, то есть исходная пропорция. Поэтому перекрёстные произведения не просто помогают проверить отдельный пример: они дают способ установить равенство отношений. Нулевые знаменатели исключены, поскольку соответствующие частные не существуют.
Неизвестный член находят тем же способом: сначала заменяют пропорцию равенством перекрёстных произведений. Затем получают уравнение, в котором неизвестное умножено на известное число. Чтобы оставить неизвестное одно, обе части делят на этот множитель. Например, если 4:7 = x:21, то 4·21 = 7x, а значит x = 84:7.
Расположение членов важно, потому что оно определяет, какие числа умножаются друг на друга. В записи a:b = c:d крайние — a и d, а средние — b и c, поэтому составляют равенство ad = bc. Если ошибочно перемножить соседние числа, получится другое равенство, которое не следует из определения пропорции. Перед вычислением удобно назвать члены по порядку и только потом записать произведения.
| Что рассматриваем | Запись в пропорции a:b=c:d | Связь |
|---|---|---|
| Крайние члены | a и d | Их произведение равно произведению средних |
| Средние члены | b и c | Их произведение равно произведению крайних |
| Основное свойство | a:b=c:d | ad=bc |
| Нахождение неизвестного | Например, a:b=c:x | x=bc/a, если a не равно нулю |
Сначала найдите в записи крайние и средние члены по их местам, а затем проверьте равенство произведений. В последней строке формула получена из ad = bc, если неизвестно d и a не равно нулю. Таблица подходит и для проверки пропорции, и для поиска неизвестного члена.
Задача 1. Проверьте, является ли равенство 3:5 = 12:20 пропорцией. Можно вычислить оба отношения, но умножение крест-накрест здесь проще. Сравним произведение крайних членов с произведением средних.
Ответ: равенство является пропорцией. Совпадение перекрёстных произведений подтверждает, что оба отношения имеют одинаковое значение.
Задача 2. Найдите x в пропорции 4:7 = x:21. Неизвестное стоит на месте среднего члена, поэтому при перемножении крест-накрест оно будет умножаться на 7. Сначала запишем равенство произведений, чтобы не выбирать делитель наугад.
Ответ: x = 12. Проверка показывает, что найденное число действительно сохраняет равенство отношений.
Задача 3. Найдите x в пропорции 2,4:x = 3:5. Здесь неизвестный член находится в знаменателе первого отношения, поэтому основное свойство даст произведение 2,4·5 и произведение x·3. После этого останется решить простое уравнение.
Ответ: x = 4. При делении десятичного числа здесь не возникло сложностей, потому что сначала мы получили целое произведение 12.
Перемножают соседние числа вместо перекрёстных: в a:b = c:d проверять нужно произведения ad и bc. Ошибка возникает, когда порядок записи не соотносят с расположением членов. Для проверки подпишите крайние и средние числа, а затем убедитесь, что в каждом произведении взято по одному члену из каждой пары.
Путают названия крайних и средних членов: крайними считают второй и третий, а средними — первый и четвёртый. Так бывает, если не учитывать порядок записи слева направо. В a:b = c:d крайние — a и d, средние — b и c; проверить себя можно, мысленно обведя первый и последний члены.
При поиске неизвестного делят не на тот множитель. Причина обычно в том, что вычисление начинают до записи равенства произведений. Сначала запишите ad = bc, затем выделите неизвестное и разделите на число, которое умножается именно на него. В конце подставьте ответ в исходную пропорцию.
Считают пропорцией равенство, в котором знаменатель равен нулю. Это неверно: отношение является частным, а делить на ноль нельзя. Проверьте, не стоит ли ноль на месте второго числа отношения; если стоит, такое отношение не определено и равенство проверить нельзя.
Для работы с пропорциями нужно уметь находить отношение чисел, делить натуральные и десятичные дроби и понимать равенство частных. Эти навыки помогают не только проверить равенство делением, но и выполнить вычисления после составления уравнения. Пропорции применяют в задачах на масштаб, проценты и прямую пропорциональность. Основное свойство также помогает решать уравнения и находить неизвестный член отношения.
Как понять, является ли равенство двух отношений пропорцией?
Умножьте первый член на четвёртый, а второй — на третий. Если произведения равны, отношения равны и запись является пропорцией; знаменатели при этом не должны быть нулевыми.
Какие члены пропорции называются крайними, а какие средними?
В записи a:b = c:d крайние члены — первый и четвёртый, то есть a и d. Средние — второй и третий, то есть b и c.
Почему в пропорции можно перемножать члены крест-накрест?
Если a:b = c:d, то a/b = c/d. Умножив обе части на bd, получаем ad = bc, то есть равенство перекрёстных произведений.
Как найти неизвестный член пропорции?
Сначала запишите равенство произведения крайних членов и произведения средних. Затем выразите неизвестное: разделите произведение известных членов на тот известный множитель, который умножается на неизвестное.
Можно ли составить пропорцию, если один из её знаменателей равен нулю?
Нет. Отношение — это деление, а на ноль делить нельзя, поэтому такое отношение не определено и пропорцию с ним составить нельзя.
3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции
