"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Масштаб показывает, во сколько раз изображение уменьшает реальные расстояния. Он помогает понять, какое расстояние на местности соответствует отрезку на карте или плане, а также начертить план по известным размерам. Масштаб записывают числом, например 1:100 000, или словами: 1 см соответствует 1 км. Чтобы правильно работать с ним, нужно сравнивать длины, выраженные в одинаковых единицах, и помнить: от изображения к местности умножают на знаменатель масштаба, а обратно — делят.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб карты или плана — отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности. Это отношение показывает, насколько изображение меньше настоящего расстояния. Обе длины обязательно выражают в одинаковых единицах: например, сначала переводят метры в сантиметры. Иначе сравниваются разные единицы, и масштаб получится неверным.
Численный масштаб записывают в виде 1:n, где n — число, показывающее, сколько единиц на местности соответствует одной такой же единице на изображении. Например, 1:100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности. Такая запись помогает быстро находить расстояния по карте и на карте. Число n называют знаменателем масштаба.
Именованный масштаб — словесная запись соответствия расстояний, например: 1 см на плане соответствует 5 м на местности. В отличие от численного масштаба, здесь указаны конкретные единицы. Эта запись наглядна: не нужно каждый раз вспоминать, сколько сантиметров содержится в знаменателе. По ней удобно сразу переходить от измерения на плане к расстоянию в метрах.
Расстояние на местности и расстояние на изображении — две связанные величины. Если известна одна из них и задан масштаб, можно вычислить другую. Например, по отрезку на карте находят реальный путь, а по известному расстоянию на местности — нужную длину на плане. Масштаб задаёт правило такого перехода.
Масштаб сравнивает изображение с настоящим расстоянием, поэтому в его основе стоит отношение двух длин. Чтобы отношение показывало только размерное соответствие, а не разницу единиц, обе длины переводят, например, в сантиметры. Так, нельзя напрямую сравнивать 1 см на плане и 5 м на местности: сначала 5 м превращают в 500 см. Тогда отношение 1:500 показывает, сколько сантиметров на местности приходится на 1 см плана.
В записи 1:n на изображении берут одну условную единицу, а на местности — n таких же единиц. Поэтому реальная длина больше длины на карте в n раз. Чтобы перейти от карты к местности, умножают длину отрезка на знаменатель масштаба. Например, при масштабе 1:100 000 отрезок 2 см соответствует 2 · 100 000 см.
Если известно расстояние на местности и длина на плане, можно составить численный масштаб. Сначала переводят обе длины в одну единицу, потому что только тогда их можно правильно сравнить. Затем записывают отношение «длина на плане : длина на местности» и делят обе части на число, стоящее перед двоеточием. Получают запись с единицей в первой части: 1:n.
Численный и именованный масштабы описывают одно и то же соответствие, но по-разному. Чтобы из 1:n получить именованную запись, решают, какую единицу взять на изображении, и переводят n таких единиц в удобные метры или километры. Например, в масштабе 1:100 000 одному сантиметру на карте соответствуют 100 000 см, то есть 1 км на местности. Для обратного перехода именованное расстояние сначала переводят в ту же единицу, что и длину на изображении, а затем сокращают отношение.
Действие зависит от того, какую длину ищут: на местности или на изображении. Если нужно расстояние на местности, длину на плане умножают на n; если нужна длина на плане, действительное расстояние делят на n. Это связано с тем, что изображение уменьшено в n раз. Проверка помогает избежать ошибки: обратное действие должно вернуть исходную длину.
В таблице длину на изображении называем длиной на плане; для карты действует то же правило. Сначала определи, какая величина известна и какую нужно найти, а затем выбери соответствующую строку. Перед вычислением проверь, что единицы согласованы, а после него при необходимости переведи ответ в более удобные единицы.
| Что известно | Что требуется найти | Действие | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Масштаб 1:n и длина на плане | Длину на местности | Длину на плане умножить на n | Сначала единицы одинаковые; затем можно перевести ответ |
| Масштаб 1:n и длина на местности | Длину на плане | Длину на местности разделить на n | Сначала единицы одинаковые; результат в той же единице |
| Длины на плане и на местности | Численный масштаб | Перевести длины в одинаковые единицы и сократить отношение до 1:n | Одинаковые единицы до составления отношения |
| Соответствие для именованного масштаба | Численный или именованный масштаб | Перевести величины в подходящие единицы и записать равное соответствие | Указать единицы словесно или сократить отношение |
Задача 1. Масштаб карты 1:100 000. Найдите расстояние на местности, если на карте между двумя пунктами 3 см. Нужно перейти от длины на изображении к действительной длине, поэтому используем умножение на знаменатель. Получив сантиметры, переведём их в километры, чтобы ответ было удобно читать.
Ответ: 3 км.
Задача 2. На плане длина дороги 4,5 см, а на местности она равна 900 м. Запишите масштаб численным и именованным способами. Для отношения нужно выразить обе длины в одинаковых единицах, поэтому переведём метры в сантиметры. После сокращения получим численный масштаб, а затем прочитаем его как соответствие для 1 см на плане.
Ответ: численный масштаб 1:20 000; именованный — 1 см на плане соответствует 200 м на местности.
Задача 3. Расстояние между городами на карте масштаба 1:2 500 000 равно 7,2 см. Сколько времени займёт путь между ними при скорости 60 км/ч? Сначала найдём настоящее расстояние по масштабу и переведём его в километры. Затем применим правило: время равно расстоянию, делённому на скорость.
Ответ: 3 часа.
Ошибка: сравнивать сантиметры на плане с метрами на местности без перевода. Так, отношение 1 см к 5 м нельзя сразу записывать как 1:5, потому что числа относятся к разным единицам. Эту ошибку допускают, когда торопятся и принимают единицы за несущественную деталь. Проверь себя: перед записью отношения рядом с обеими длинами должны стоять одинаковые единицы.
Ошибка: поменять местами длину на изображении и действительную длину. Масштаб — это отношение «изображение к местности», поэтому запись 1:n означает, что единице на карте соответствуют n единиц на местности. Если порядок перепутан, получится обратное отношение, и карта как будто будет увеличивать расстояния. Проверь запись: первая часть должна описывать изображение, а знаменатель — местность.
Ошибка: при переходе от карты к местности делить длину на знаменатель. Так делают, если путают направление перехода, хотя масштаб 1:n означает, что реальная длина больше в n раз. Для расстояния на местности нужно умножение, а деление подходит, когда по местности находят длину на плане. Проверка обратным действием покажет ошибку: деление полученного результата на n должно вернуть длину на карте.
Ошибка: оставлять ответ в сантиметрах, когда его удобнее выразить в метрах или километрах. Большое число сантиметров труднее представить, а при переводе легко потерять нули или неверно разделить. Например, при переходе из сантиметров в метры делят на 100, а из метров в километры — на 1000. Проверь себя, выполнив обратный перевод и убедившись, что получилась исходная длина.
До изучения масштаба полезно уметь сравнивать величины, находить отношение чисел и переводить длины между миллиметрами, сантиметрами, метрами и километрами. Эти навыки нужны, чтобы составлять масштаб и не путать единицы при вычислениях. Если перевод длины пока вызывает затруднение, сначала запиши её в одинаковых единицах, а затем выполняй действия с масштабом.
Масштаб встречается при чтении карт и планов, а также при черчении и создании моделей. Он связан с задачами на пропорции: длины на изображении и местности меняются в одинаковое число раз. Понимание масштаба помогает оценивать реальные расстояния и создавать уменьшенные изображения предметов.
Почему в масштабе 1:100 000 единицы измерения должны быть одинаковыми?
Масштаб — это отношение двух длин, поэтому сравнивать их можно только в одинаковых единицах. Например, 1 см и 100 000 см дают верное отношение 1:100 000. Если оставить одну длину в сантиметрах, а другую в метрах, отношение будет неправильным.
Что означает знаменатель в записи масштаба 1:n?
Знаменатель n показывает, сколько таких же единиц на местности соответствуют одной единице на изображении. Например, при масштабе 1:100 000 одному сантиметру на карте соответствуют 100 000 см на местности. Значит, реальное расстояние больше изображённого в 100 000 раз.
Как по карте определить расстояние на местности?
Измерь расстояние на карте и умножь его на знаменатель численного масштаба. Обе длины сначала получатся в одинаковых единицах, например в сантиметрах. Затем переведи результат в метры или километры, если так удобнее.
Как составить масштаб, если известны длины на плане и на местности?
Переведи обе длины в одинаковые единицы и составь отношение длины на плане к длине на местности. Затем сократи отношение так, чтобы первая часть стала равна 1. Полученное число после двоеточия будет знаменателем масштаба.
Как перевести численный масштаб в именованный?
Выбери удобную единицу для изображения, например 1 см, и выясни, сколько таких же единиц на местности соответствует ей. Переведи полученное расстояние в метры или километры. Например, масштаб 1:100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 1 км на местности.
2. Масштаб
