"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Отношение двух чисел — это частное от деления первого числа на второе. Оно помогает сравнивать числа и величины не только по разности, но и по тому, во сколько раз они отличаются или какую часть одно составляет от другого. Отношение записывают a:b или a/b; второй член не может быть равен нулю. Чтобы сравнить величины, сначала выражают их в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение — частное от деления одного числа на другое; его записывают a:b или a/b. Например, 12:3 означает, что 12 нужно разделить на 3. Отношение нужно, чтобы сравнить числа не только по разности, но и по тому, во сколько раз одно больше или меньше другого.
В записи a:b числа a и b называют членами отношения: a — первый член, b — второй. Второй член не может быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя. Это правило помогает сразу проверить, допустимо ли составлено отношение.
Значение отношения — результат деления первого члена на второй, то есть частное a:b. Так, значение отношения 18:6 равно 3. По нему можно судить о сравнении чисел: здесь первое число в 3 раза больше второго.
Обратное отношение получают, переставляя члены исходного отношения: для b:a исходным будет a:b. Например, обратное к 5:3 — 3:5. Оно нужно, когда сравнивают те же числа, но в противоположном порядке.
Сравнить числа можно вычитанием или делением: вычитание показывает, на сколько они различаются, а деление — во сколько раз одно отличается от другого. Для величин сначала нужны одинаковые единицы измерения, иначе делятся числа, относящиеся к разным единицам. Например, нельзя сравнить числа 1,2 и 75 напрямую, если первое означает метры, а второе — сантиметры. Переведём обе длины в сантиметры или обе в метры, а затем составим отношение.
Запись a:b читают «a к b» и понимают как деление a на b, поэтому её можно заменить дробью a/b. Значение показывает, сколько раз величина b содержится в величине a; если оно меньше единицы, a составляет соответствующую часть b. Например, 3:5 = 3/5: первая величина равна трём пятым второй. Важно сохранять порядок членов: отношение a к b и отношение b к a обычно имеют разные значения.
Члены отношения связаны со значением так же, как делимое, делитель и частное. Если известно значение k и второй член b, первый находят умножением: a = k · b; если известны a и k, второй находят делением: b = a:k. Например, при отношении 3:5 значение равно 3/5, поэтому, зная длину красной ленты, можно определить длину синей: одна доля равна известной длине, делённой на 3. Затем эту долю умножают на 5.
Отношение можно упростить, не меняя его значения: для этого оба члена делят на один и тот же ненулевой множитель. Например, 12:8 = 3:2, потому что оба числа разделили на 4, а частное не изменилось. По той же причине умножение обоих членов на одинаковое ненулевое число сохраняет отношение: (ak):(bk) = a:b. Если менять только один член или прибавлять число к обоим, частное обычно изменится.
В обратном отношении порядок членов меняется: к a:b обратным будет b:a. Значения этих отношений равны a/b и b/a, поэтому одно получается из другого перестановкой числителя и знаменателя. Например, значения 5:3 и 3:5 равны 5/3 и 3/5, а их произведение равно 1. Поэтому их называют взаимно обратными числами.
| Что рассматриваем | Запись или правило | Что означает | Пример |
|---|---|---|---|
| Отношение двух чисел | a:b = a/b | Частное от деления первого числа на второе | 12:3 = 4 |
| Первый и второй члены | a:b | a — первый член, b — второй член; b ≠ 0 | 7:5: 7 и 5 — члены отношения |
| Значение отношения | a:b | Результат деления a на b | 18:6 = 3 |
| Изменение обоих членов | a:b = (ak):(bk), k ≠ 0 | Значение отношения сохраняется | 12:8 = 3:2 |
| Обратное отношение | b:a | Получается перестановкой членов | 3:5 — обратное к 5:3 |
Сначала найдите в таблице нужный вид отношения, затем проверьте, какие числа являются его членами и какое правило применяется. Примеры показывают, как запись выглядит после вычисления или упрощения. При сравнении величин дополнительно проверьте, что единицы измерения одинаковы.
Задача 1. Найдите значение отношения 24:6 и объясните, что оно показывает.
Ответ: значение отношения равно 4; первое число в 4 раза больше второго.
Задача 2. Отношение длины красной ленты к длине синей равно 3:5. Длина красной ленты — 12 см. Найдите длину синей ленты.
Ответ: длина синей ленты — 20 см.
Задача 3. Сравните длины 1,2 м и 75 см с помощью отношения и запишите обратное отношение.
Ответ: отношение длин — 8:5, его значение — 1,6; обратное отношение — 5:8.
Иногда делят больший член на меньший, не учитывая порядок слов. Но «a к b» означает именно a:b, даже если a меньше b; например, для 3 к 5 значение равно 3:5, а не 5:3. Проверьте, совпадает ли делимое с первым членом исходной записи.
Ещё одна ошибка — сравнивать разные единицы, например считать отношение 1,2 м к 75 см как 1,2:75. Числовые значения здесь относятся к разным единицам, поэтому частное не показывает верного сравнения длин. Перед вычислением переведите величины в одну единицу и проверьте, что обе записи обозначают одинаковые единицы.
При упрощении отношения иногда делят только один член или прибавляют одинаковое число к обоим. В обоих случаях частное изменяется, потому что соответствующие доли уже не сохраняются. Проверьте себя делением первого члена на второй до и после преобразования: значения должны совпасть.
Переставив члены, некоторые считают, что получили то же отношение. На самом деле так получают обратное отношение, и его значение обычно отличается: например, 5:3 = 5/3, а 3:5 = 3/5. Для проверки перемножьте значения: у исходного и обратного отношений произведение равно 1.
Чтобы находить значения отношений, нужны навыки деления натуральных и дробных чисел, сокращения дробей и перевода величин в одинаковые единицы. Эти действия помогают правильно вычислить отношение и записать его проще. Если единицы разные, сначала выполните перевод.
Отношения используются при изучении пропорций, масштаба, процентов, а также прямой и обратной пропорциональности. Понимание порядка членов помогает составлять выражения для каждой такой задачи. Например, масштаб карты сравнивает расстояния на карте и на местности.
В практических задачах отношениями сравнивают скорости, расстояния, количества и другие величины. Например, можно узнать, во сколько раз одна скорость больше другой или какую часть одного расстояния составляет другое. Для осмысленного ответа важно учитывать, какие величины стоят первыми и в каких единицах они выражены.
Чем отношение отличается от обычного сравнения «на сколько больше»?
Сравнение «на сколько больше» находят вычитанием, а отношение — делением. Например, числа 12 и 3 отличаются на 9, а их отношение 12:3 равно 4: оно показывает, во сколько раз первое число больше второго.
Можно ли записать отношение дробью?
Да, отношение a к b записывают и как a:b, и как дробь a/b. Обе записи означают деление a на b, поэтому b не должно равняться нулю.
Почему нельзя делить только один член отношения?
Если изменить только один член, изменится частное, а значит, и значение отношения. Сохранить его можно, только умножив или разделив оба члена на одно и то же ненулевое число.
Как понять, какое отношение является обратным?
В обратном отношении члены исходного отношения меняют местами: для a:b обратное — b:a. Значение обратного отношения является обратным числом к значению исходного.
Нужно ли переводить величины в одинаковые единицы перед составлением отношения?
Да, иначе деление числовых значений не даст правильного сравнения величин. Например, перед сравнением метров и сантиметров выразите обе длины в метрах или обе в сантиметрах.
1. Понятие отношения
