"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Отношение помогает сравнить два числа или две величины делением. Запись a:b означает, что первое число a делят на второе b, причём b не должно быть равно нулю. По значению отношения можно узнать, во сколько раз одно число больше другого или какую часть от него составляет. Отношения используют для сравнения величин, а также для чтения планов и карт по масштабу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел — это частное первого числа и второго. Его записывают a:b или a/b, причём b ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Например, запись 12:3 означает 12 ÷ 3. Отношение используют, когда нужно сравнить числа делением, а не вычитанием.
Члены отношения — это числа, которые записаны по обе стороны двоеточия: в a:b число a — первый член, b — второй. При вычислении сначала делят первый член на второй. Такое название помогает не перепутать порядок чисел в записи и понять, какое из них будет делимым, а какое — делителем.
Отношение величин — это частное их числовых значений, если величины одного рода, например обе длины или обе массы. Перед делением величины переводят в одинаковые единицы: иначе делились бы числа, относящиеся к разным размерам единиц. Например, сначала метры переводят в сантиметры, а уже потом делят.
Масштаб — это отношение длины на изображении к соответствующей длине в действительности. Например, масштаб 1:1000 показывает, что одной единице на плане соответствуют 1000 таких же единиц на местности. Единицы должны быть одинаковыми, иначе числовое отношение не будет верно сравнивать длины.
Чтобы получить отношение a к b, нужно разделить a на b. Деление отвечает на вопрос, сколько раз b содержится в a, поэтому отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго. Если результат меньше единицы, то первое число составляет лишь часть второго: например, 2:8 = ¼ означает, что 2 — четверть от 8.
Порядок членов отношения важен, потому что при перестановке чисел меняются и делимое, и делитель. Например, 12:3 = 4, а 3:12 = ¼. Первое отношение отвечает на вопрос, во сколько раз 12 больше 3, а второе — какую часть от 12 составляет 3, поэтому эти записи нельзя считать одинаковыми.
Отношение удобно записывать дробью: a:b = a/b. Дробь не меняет значения, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число; то же правило действует для членов отношения. Это позволяет сократить отношение до более простых чисел, не меняя того, что оно показывает. Например, 18:12 можно разделить на 6 и получить 3:2.
При сравнении величин одного рода сначала приводят их к одной единице, потому что числовые значения зависят от выбранной единицы. Например, 1 м и 50 см — это не числа 1 и 50: длины нужно сначала записать одинаково. Если перевести 1 м в 100 см, получится отношение 100:50 = 2. Единицы сокращаются, поэтому результат показывает чистое числовое сравнение.
Масштаб связывает изображение с реальным объектом и помогает переводить измеренную на карте длину в действительную. В записи 1:1000 числа выражают в одинаковых единицах: каждой единице на изображении соответствуют 1000 единиц в действительности. Поэтому расстояние на изображении умножают на 1000, чтобы найти действительную длину. А чтобы восстановить длину изображения по реальной, делят действительную длину на 1000.
| Что сравниваем | Запись | Как найти значение | Что показывает |
|---|---|---|---|
| Два числа | a:b | Разделить a на b | Во сколько раз a больше b или какую часть от b составляет a |
| Величины одного рода | x:y | Выразить величины в одинаковых единицах и разделить x на y | Во сколько раз одна величина больше другой или какую часть составляет |
| Длины на изображении и в действительности | 1:n | Разделить длину на изображении на соответствующую действительную длину в одинаковых единицах | Как соотносятся длина изображения и действительная длина |
Сначала определите, что именно сравнивают, затем проверьте порядок членов отношения. Для величин приведите единицы к одинаковым, а для масштаба установите, какую длину нужно найти — на изображении или в действительности. Последний столбец помогает проверить, отвечает ли полученное значение на нужный вопрос.
Ответ: 18:6 = 3. Это отношение показывает, что первое число в три раза больше второго. Если бы нужно было узнать, какую часть 6 составляет от 18, следовало бы записать 6:18.
Ответ: 40 см : 2 м = 0,2, или 1:5. Это означает, что 40 см составляют одну пятую от 2 м. Запись 40:2 дала бы неверный результат, так как единицы сначала не были согласованы.
Ответ: действительное расстояние равно 150 м. Проверка по смыслу: оно должно быть в 5000 раз больше расстояния на плане, а не меньше него. Перевод сантиметров в метры не меняет длину, а только делает запись удобнее.
Переставляют члены отношения и вместо a:b считают b:a. Так происходит, когда не замечают, что первое число делят на второе. Перед вычислением перечитайте условие и проверьте: порядок в записи должен совпадать с порядком сравниваемых величин.
Делят величины, записанные в разных единицах, например сантиметры на метры без перевода. Из-за этого числовое частное не отражает сравнение самих длин. Чтобы проверить себя, запишите обе величины в одной единице измерения и только потом выполняйте деление.
Путают отношение с разностью и вычитают одно число из другого. Это случается потому, что оба действия используют для сравнения чисел, но отвечают они на разные вопросы. Проверьте знак действия: отношение находят делением, а разность — вычитанием.
Неверно понимают направление масштаба и умножают или делят не на то число. Например, могут получить длину на карте больше действительной, хотя изображение уменьшено. Спросите себя, какой результат нужен: действительная длина при масштабе 1:n больше длины на изображении в n раз, а длина на изображении меньше в n раз.
Для работы с отношениями нужно уметь делить натуральные числа и записывать частное обыкновенной дробью. Это помогает вычислять значение отношения и сокращать его, если члены можно разделить на одно число. Также понадобятся знания единиц длины и умение переводить метры в сантиметры и обратно.
Отношения пригодятся при изучении пропорций: в них сравнивают несколько отношений. Масштаб планов и карт — практический пример применения отношений, а задачи на сравнение величин учат выбирать нужный порядок деления. Освоив эту тему, легче понимать, как связаны числа и реальные размеры.
Чем отношение отличается от разности?
Разность находят вычитанием, а отношение — делением первого числа на второе. Поэтому отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть от него составляет.
Почему при записи отношения важен порядок чисел?
В отношении a:b делят a на b, а в отношении b:a — b на a. Обычно частные разные, поэтому они отвечают на разные вопросы.
Можно ли сравнивать отношением величины, записанные в разных единицах?
Перед делением такие величины нужно выразить в одинаковых единицах. Например, сантиметры и метры нельзя делить, пока одну из величин не перевели в другие единицы.
Почему значение отношения не меняется, если оба его члена умножить на одно число?
При умножении обоих членов на одно и то же ненулевое число дробь можно сократить на этот множитель. Поэтому частное останется прежним.
Как понять, что означает масштаб 1:5000?
Одна единица длины на изображении соответствует 5000 таким же единицам в действительности. Например, 1 см на плане соответствует 5000 см, то есть 50 м, на местности.
§ 3. Отношения.
