"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорциональные величины связаны так, что изменение одной помогает предсказать изменение другой. При прямой пропорциональности вместе с одной величиной во столько же раз меняется другая, а их отношение остаётся постоянным. При обратной пропорциональности постоянным остаётся произведение, поэтому рост одной величины сопровождается уменьшением другой. Эти зависимости помогают находить неизвестные значения в задачах о покупках, движении, смесях и работе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямо пропорциональные величины — это величины, отношение соответствующих значений которых постоянно. Если одна увеличилась в несколько раз, другая увеличится во столько же раз. Такое правило позволяет по известной паре значений находить остальные.
Коэффициент пропорциональности — постоянное число k в формуле y = kx. Оно показывает, во сколько раз значение y больше соответствующего значения x. Коэффициент помогает записать зависимость одной величины от другой и вычислить неизвестное значение.
Обратно пропорциональные величины — это величины, произведение соответствующих значений которых постоянно. Если одна увеличивается в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Такое свойство полезно, когда общий результат не меняется, например расстояние в задаче о движении.
Пропорциональная зависимость — закономерная связь величин, при которой они изменяются прямо или обратно пропорционально. Чтобы выбрать подходящую формулу, нужно выяснить, что остаётся постоянным: отношение или произведение. Это помогает не угадывать зависимость по отдельным числам, а проверять её.
Чтобы проверить по таблице прямую пропорциональность, возьми значения из каждой соответствующей пары и раздели одно на другое в одинаковом порядке. Если все частные равны, отношение не меняется, значит, подходит прямая пропорциональность. Например, если значения y при делении на соответствующие x дают каждый раз 3, то постоянное отношение равно 3. Если результат меняется, эта таблица не описывается такой зависимостью.
При прямой пропорциональности отношение y / x постоянно и обозначается буквой k. Поэтому для любой пары значений выполняется y / x = k; умножив обе части на x, получаем формулу y = kx. Коэффициент k связывает величины: он показывает, сколько единиц y соответствует одной единице x. Например, если y в три раза больше x, то k = 3 и каждое значение y можно найти умножением x на 3.
Обратную пропорциональность проверяют иначе: значения каждой пары перемножают. Если во всех случаях получается одно и то же число, произведение постоянно и зависимость может быть обратной. Например, пары 2 и 12, 3 и 8 дают произведение 24. Проверка нужна потому, что при такой зависимости отношение не обязано оставаться одинаковым.
Если произведение x и y равно постоянному числу k, зависимость записывают как xy = k. Когда x становится больше, y должно стать меньше, чтобы произведение осталось прежним. Например, если одна величина увеличилась вдвое, вторую нужно уменьшить вдвое. Поэтому при неизменном расстоянии повышение скорости сокращает время поездки.
В жизненной задаче сначала выясни, какие величины сравниваются и какие условия остаются неизменными. Затем составь таблицу из соответствующих пар: например, масса товара и его стоимость или скорость и время пути. Проверь постоянство отношения либо произведения и запиши подходящую формулу. Если условие, от которого зависит связь, меняется, прежняя пропорциональная модель может не подойти.
| Свойство | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Формула связи | y = kx | xy = k |
| Что остаётся постоянным | Отношение y / x | Произведение xy |
| Как изменяются величины | В одном направлении и во столько же раз | В противоположных направлениях и во столько же раз |
| Пример | Масса товара и стоимость при одной цене за килограмм | Скорость и время при постоянном расстоянии |
Сначала посмотри, какое условие задачи не меняется, а затем проверь соответствующие пары значений. Постоянное отношение указывает на прямую пропорциональность, постоянное произведение — на обратную. Формулу выбирай только после этой проверки.
За 1 кг яблок платят 120 рублей. Нужно найти стоимость 3 кг и 5 кг. Цена одного килограмма не меняется, поэтому чем больше масса, тем во столько же раз больше стоимость: это прямая пропорциональность.
Ответ: 3 кг стоят 360 рублей, а 5 кг — 600 рублей. Мы умножили массу на постоянную цену одного килограмма. Если бы цена за килограмм изменилась, этот коэффициент пришлось бы пересчитать.
Автомобиль должен проехать 180 км с постоянной скоростью. Найдём время при скоростях 60 км/ч и 90 км/ч. Расстояние одинаковое, поэтому при увеличении скорости время уменьшается: это обратная пропорциональность.
Ответ: при скорости 60 км/ч путь займёт 3 часа, при скорости 90 км/ч — 2 часа. В обоих случаях произведение скорости на время равно 180 км. Если бы расстояние было другим, эта же пара скоростей не обязательно соответствовала бы этим временам.
Концентрат и воду смешивают в отношении 1:4. Это значит, что на одну одинаковую часть концентрата берут четыре такие же части воды. Нужно выяснить, сколько воды добавить к 350 мл концентрата и каков будет общий объём напитка.
Ответ: потребуется 1400 мл воды, получится 1750 мл напитка. Здесь сохраняется отношение частей смеси, поэтому при увеличении количества концентрата количество воды растёт во столько же раз. Рассуждение верно, если заданное отношение действительно относится к объёмам компонентов.
Ошибка — считать величины прямо пропорциональными только потому, что обе растут. Так думают, замечая одинаковое направление изменения, но этого недостаточно: рост может быть неодинаковым. Сравни соответствующие значения делением и проверь, повторяется ли одно отношение. Например, увеличение одного числа вдвое не доказывает, что второе тоже увеличилось вдвое.
Постоянное отношение и постоянное произведение иногда путают, потому что в обоих случаях сравнивают пары чисел. Однако отношение характеризует прямую пропорциональность, а произведение — обратную. Чтобы проверить себя, подпиши формулу к найденному постоянству: y / x = k или xy = k. Если признаки перепутаны, вывод о зависимости будет неверным.
При обратной пропорциональности нельзя увеличивать обе величины одновременно, оставляя остальные условия неизменными. Эту ошибку допускают, когда переносят правило прямой пропорциональности на любую таблицу. Проверь, сохраняется ли произведение: если одна величина выросла, другая должна уменьшиться настолько, чтобы произведение не изменилось. Например, при постоянном расстоянии более высокая скорость означает меньшее время.
Нельзя применять пропорциональную модель, не проверив условия задачи. Например, время и скорость обратно пропорциональны только при фиксированном расстоянии и равномерном движении. Если расстояние меняется, произведение скорости на время тоже может измениться. Перед вычислениями назови, что именно остаётся постоянным, и проверь, соответствует ли этому формула.
Для работы с пропорциональными величинами нужно уметь составлять отношения и пропорции, находить неизвестный член пропорции и читать таблицы. Эти навыки помогают сравнивать пары значений и проверять, верно ли выбрана зависимость. Пропорции встречаются в задачах на движение, стоимость покупок, масштаб, смеси и производительность труда. Позже представление о связи величин поможет изучать формулы и графики функций.
Как понять, что величины прямо пропорциональны?
Раздели несколько значений одной величины на соответствующие значения другой. Если во всех случаях получается одно и то же число, величины прямо пропорциональны. Также при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Чем прямая пропорциональность отличается от обратной?
При прямой пропорциональности постоянным остаётся отношение соответствующих значений, а формула имеет вид y = kx. При обратной пропорциональности постоянным остаётся произведение, и используется формула xy = k. В первом случае величины изменяются в одном направлении, во втором — в противоположных.
Как найти коэффициент пропорциональности?
Для прямой пропорциональности раздели значение y на соответствующее значение x: k = y / x. Для обратной найди произведение значений: k = xy. Важно выбрать значения из одной и той же пары.
Могут ли две величины быть обратно пропорциональными, если обе растут?
Если условия задачи не меняются и величины обратно пропорциональны, одновременно расти они не могут: при росте одной другая должна уменьшаться. Но обе величины могут расти в разных наблюдениях, если меняются условия задачи, например расстояние или объём работы.
Как проверить по таблице, являются ли величины пропорциональными?
Для проверки прямой пропорциональности раздели значения в каждой паре и сравни результаты. Для обратной перемножь значения в каждой паре. Если отношение или произведение соответственно одинаково для всех пар, таблица подходит этой зависимости.
§ 4. Пропорциональные величины
