1. Зависимости между величинами

Определения и обозначения

Зависимость между величинами — это связь, показывающая, как изменение одной величины связано с изменением другой. Например, чем больше время движения при постоянной скорости, тем больше пройденный путь. Понимание зависимости нужно, чтобы по известному значению одной величины находить соответствующее значение другой.

Независимая величина — величина, значение которой выбирают или задают. После этого значения других величин определяют с учётом сделанного выбора. Её удобно обозначать буквой, например t для выбранного времени или a для заданной стороны квадрата.

Зависимая величина — величина, значение которой меняется в зависимости от значения другой величины. Если изменяется независимая величина, то по установленному правилу изменяется и зависимая. Так, периметр квадрата P зависит от его стороны a.

Формула зависимости — равенство, которое записывает правило связи величин с помощью букв и чисел. Например, формула P = 4a показывает, как найти периметр квадрата по его стороне. Формула позволяет быстро вычислять зависимое значение для разных значений независимой величины.

Как это устроено

Рассмотрим путь и время движения с постоянной скоростью. Если велосипедист едет со скоростью 12 км/ч, то за 1 час он проходит 12 км, а за 2 часа — 24 км. Эти величины изменяются вместе, потому что путь вычисляется умножением скорости на время: s = 12t.

Чтобы определить направление зависимости, спросите себя, какую величину можно выбрать заранее. Время поездки можно задать, а пройденный путь после этого определяется скоростью и временем. Поэтому в такой ситуации t — независимая величина, а s — зависимая.

Сначала выбирают независимую величину, потому что без неё нельзя получить конкретное значение зависимой величины. Затем выбранное число подставляют в правило и выполняют вычисление. Например, при t = 2,5 значение пути находится так: s = 12 · 2,5 = 30 км.

Одно и то же правило можно выразить разными способами. Словесно можно сказать: путь равен скорости, умноженной на время; таблица покажет несколько пар времени и пути; формула s = 12t сразу задаст связь для любого подходящего времени. Слова удобны для объяснения, таблица — для сравнения значений, а формула — для вычислений.

По нескольким значениям можно заметить закономерность, но одного наблюдения недостаточно. Если при увеличении t в 1, 2 и 3 раза значения s равны 12, 24 и 36, можно предположить правило s = 12t. Затем нужно подставить другие значения, например t = 4, и проверить, получается ли ожидаемый путь 48 км и соответствует ли формула условию.

Способы представления зависимости между величинами

Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала найдите, какая величина независимая, а какая зависимая. Затем выберите способ, подходящий для задачи: слова помогают понять правило, таблица — сравнить примеры, формула — получить точный результат.

Разбор задач

Задача 1. Сторона квадрата равна 3 см. Нужно записать формулу зависимости его периметра P от стороны a и найти P при a = 3 см. Периметр квадрата равен сумме четырёх равных сторон, поэтому сторона является независимой величиной.

1. Запишем правило: P = 4a.
2. Подставим a = 3 см: P = 4 · 3.
3. Вычислим: P = 12 см.

Ответ: формула зависимости — P = 4a, периметр равен 12 см. Единица измерения получилась сантиметры, потому что складываются длины сторон. Если выбрать другую сторону, эта же формула найдёт новый периметр.

Задача 2. Велосипедист движется со скоростью 12 км/ч. Составим формулу пути s за время t и найдём путь за 2,5 часа. Время выбирают, поэтому t — независимая величина, а путь s зависит от продолжительности движения.

1. Используем правило равномерного движения: s = vt.
2. Подставим v = 12 км/ч: s = 12t.
3. При t = 2,5 ч получим s = 12 · 2,5 = 30 км.

Ответ: формула пути — s = 12t, за 2,5 часа велосипедист проедет 30 км. В формуле скорость остаётся постоянной, поэтому она записана числом 12. Если скорость изменится, изменится и формула зависимости.

Задача 3. За несколько одинаковых тетрадей заплатили 180 рублей, одна тетрадь стоит 30 рублей. Нужно записать зависимость общей стоимости C от числа тетрадей n и узнать, сколько тетрадей купили. Число тетрадей задают, а стоимость вычисляют по нему.

1. Стоимость равна цене одной тетради, умноженной на их число: C = 30n.
2. Подставим известную стоимость: 180 = 30n.
3. Разделим обе части на 30: n = 180 : 30 = 6.

Ответ: формула зависимости — C = 30n, купили 6 тетрадей. Здесь известна зависимая величина C, поэтому формулу превратили в уравнение. Проверка: 30 · 6 = 180 рублей.

Типичные ошибки

Путаница величин. Иногда независимой называют ту величину, которую находят вычислением. Ошибку допускают, если смотрят только на буквы, а не на смысл условия. Проверьте себя вопросом: что выбирают первым, а что определяется после этого?

Неверная подстановка. Можно подставить число не в ту букву или перепутать порядок действий. Такое происходит, когда обозначения не сопоставляют с условием. Перед вычислением подпишите, чему равна каждая буква, и только потом подставляйте числа.

Неправильная связь. Не любые две величины обязательно связаны заданным правилом. Ошибку допускают, когда пытаются придумать формулу без опоры на условие. Проверьте, сказано ли в задаче, как одна величина находится через другую.

Непроверенная формула. По двум или трём строкам таблицы можно заметить случайную закономерность. Если сразу принять её за правило, формула может не работать дальше. Подставьте в неё известные значения и проверьте смысл получившихся результатов.

Связь с другими темами

До изучения зависимости величин нужно уметь работать с буквенными выражениями. В частности, важно правильно подставлять числа вместо букв и выполнять действия по порядку. Эти навыки позволяют без ошибок пользоваться формулой зависимости.

Зависимости понадобятся при изучении формул, уравнений, пропорциональности и графиков. Формула помогает описать связь, уравнение — найти неизвестное значение, а график — увидеть изменение величин. Поэтому эта тема становится основой для дальнейших задач.

Что запомнить

• Зависимость связывает значения двух или нескольких величин.
• Независимую величину задают, а зависимую находят по правилу.
• Формула позволяет вычислить зависимое значение.
• Одну зависимость можно представить словами, таблицей или формулой.
• Подстановка значения должна соответствовать обозначению величины.
• Составленную формулу нужно проверять по условию и известным значениям.