"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорциональность показывает, как связаны две величины, когда изменение одной предсказуемо влияет на другую. При прямой пропорциональности они изменяются в одну сторону, а отношение их соответствующих значений остаётся постоянным. При обратной — одна величина растёт, другая уменьшается, зато неизменным остаётся их произведение. Эти зависимости записывают формулами y = kx и y = k/x. Они помогают находить неизвестные значения в задачах о цене, времени, скорости и работе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямо пропорциональные величины — это величины, у которых отношение соответствующих значений постоянно. Например, если цена одного килограмма яблок неизменна, стоимость покупки зависит от количества яблок. Такая зависимость нужна, чтобы по одному известному отношению находить другие значения.
Число k в формуле y = kx называют коэффициентом прямой пропорциональности. Оно показывает, во сколько раз y больше или меньше x, потому что k = y/x. Зная этот коэффициент, можно вычислить y для любого заданного x.
Обратно пропорциональные величины — это величины, произведение соответствующих значений которых постоянно. Например, чем больше одинаковых насосов работает одновременно, тем меньше времени требуется на одну и ту же работу. Такая зависимость помогает находить неизвестное значение, когда известны произведения пар величин.
Число k в формуле y = k/x называют коэффициентом обратной пропорциональности. По формуле видно, что xy = k, поэтому коэффициент равен произведению соответствующих значений x и y. Если известна одна пара значений, с помощью k можно найти другое значение этой зависимости.
При прямой пропорциональности отношение y/x не меняется. Поэтому, если x умножить на некоторое число, y тоже нужно умножить на него: иначе отношение изменится. Например, при удвоении количества товара с неизменной ценой удваивается и стоимость покупки.
Формула y = kx получается из условия, что отношение y/x равно одному и тому же числу k. Умножим обе части равенства y/x = k на x и получим y = kx. Чтобы узнать k, берут известную пару соответствующих значений и находят частное y/x.
При обратной пропорциональности постоянным остаётся произведение xy. Если x становится в несколько раз больше, произведение сохранится только тогда, когда y станет во столько же раз меньше. Так происходит, например, при распределении одинаковой работы между большим числом одинаковых исполнителей, если они работают с одной производительностью.
Запись xy = k можно преобразовать: разделим обе части на x и получим y = k/x. Поэтому коэффициент обратной пропорциональности находят умножением известного x на соответствующее y. Затем для поиска неизвестного значения используют формулу y = k/x или равенство xy = k.
В таблице для прямой зависимости проверь отношение y/x в каждой строке, а для обратной — произведение xy. Постоянство нужного выражения помогает определить вид зависимости и найти пропущенное значение. Графики тоже различаются: график y = 2x поднимается при росте x, а график y = 12/x при положительных x опускается.
| Свойство | Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность |
|---|---|---|
| Связь между величинами | При росте одной величины другая растёт во столько же раз | При росте одной величины другая уменьшается во столько же раз |
| Формула | y = kx | y = k/x |
| Постоянное отношение или произведение | Отношение y/x | Произведение xy |
| Как изменяется вторая величина при увеличении первой в несколько раз | Увеличивается во столько же раз | Уменьшается во столько же раз |
| Пример из жизни | Стоимость товара при неизменной цене за единицу и разном количестве | Время выполнения работы при разном числе одинаково работающих насосов |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала посмотри, какое отношение или произведение должно оставаться постоянным. Затем проверь это по нескольким парам значений или найди пропущенное значение. Примеры помогают связать формулу с ситуацией из жизни.
Задача 1. За 1 кг яблок платят 120 рублей. Сколько стоят 3 кг, если цена за килограмм не меняется? Стоимость растёт вместе с количеством, а цена за каждый килограмм остаётся одинаковой. Значит, это прямая пропорциональность.
Ответ: 3 кг яблок стоят 360 рублей.
Задача 2. Четыре одинаковых насоса наполняют резервуар за 6 часов. За сколько часов наполнят его 8 таких насосов, работающих одновременно? Работа одна и та же, а насосы одинаковые; если их станет вдвое больше, времени понадобится вдвое меньше. Здесь подходит обратная пропорциональность, потому что произведение числа насосов и времени постоянно.
Ответ: 8 насосов наполнят резервуар за 3 часа.
Задача 3. При прямой пропорциональности величин x и y известно, что при x = 5 значение y = 15. Найти y при x = 8, а затем определить x, если y = 27. Сначала найдём постоянное отношение y/x, а затем применим его в обоих случаях.
Ответ: при x = 8 значение y = 24; если y = 27, то x = 9.
Можно решить, что зависимость прямая, только потому, что при увеличении одной величины растёт другая. Так бывает и при зависимостях, где отношение меняется. Проверь несколько пар: значения y/x должны быть одинаковыми.
При обратной пропорциональности иногда сравнивают разности: например, сколько прибавилось к одной величине и сколько убавилось у другой. Разности здесь не обязаны совпадать, потому что неизменным остаётся произведение, а не разность. Для проверки перемножь значения каждой пары и сравни результаты.
Формулы y = kx и y = k/x легко перепутать, если не помнить, какая величина постоянна. В первой постоянное отношение y/x, во второй — произведение xy. Перед вычислением запиши, что именно должно оставаться неизменным, и проверь, подходит ли к условию отношение или произведение.
Ещё одна ошибка — находить коэффициент прямой пропорциональности как x/y либо складывать значения для обратной. Путают действия, если выбирают формулу по памяти, не проверяя смысл. Для прямой зависимости вычисли y/x, а для обратной — xy, после чего подставь коэффициент в нужную формулу.
Для работы с пропорциональностями нужно уметь находить отношение и произведение чисел, выполнять действия с дробями и составлять равенства по условию. Если эти действия пока вызывают затруднение, полезно потренироваться на простых числовых примерах. Тогда будет легче и определить коэффициент, и найти неизвестную величину.
Прямая зависимость встречается в задачах о цене и количестве товара, а обратная — о числе работников или насосов и времени работы. Похожие рассуждения используют в задачах на скорость, время и расстояние, а также на производительность труда. Позже эти формулы помогут изучать функции и их графики.
Как понять по таблице, что величины прямо пропорциональны?
Для каждой пары соответствующих значений вычисли отношение y/x. Если оно везде одинаковое, величины прямо пропорциональны. Это постоянное отношение и есть коэффициент k.
Как найти коэффициент прямой пропорциональности?
Раздели значение y на соответствующее ему значение x: k = y/x. Например, если при x = 5 получаем y = 15, то k = 15/5 = 3.
Чем обратная пропорциональность отличается от прямой?
При прямой пропорциональности отношение y/x постоянно, а величины изменяются в одну сторону. При обратной постоянно произведение xy: если одна величина увеличивается в несколько раз, другая во столько же раз уменьшается.
Как найти неизвестное значение при обратной пропорциональности?
Сначала найди постоянное произведение k = xy по известной паре значений. Затем раздели k на известное значение второй пары: например, x = k/y.
Может ли зависимость быть пропорциональной, если величины увеличиваются не в одинаковое число раз?
Да, если речь об обратной пропорциональности: при ней увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой. Но для прямой пропорциональности обе величины должны изменяться в одинаковое число раз, а их отношение должно оставаться постоянным.
2. Прямая и обратная пропорциональности
