3. Графики прямой и обратной пропорциональности

Определения и обозначения

Прямопропорциональная зависимость — это зависимость вида y = kx, где k — постоянное число, называемое коэффициентом пропорциональности. По формуле его видно как множитель при x; например, в y = 3x коэффициент k равен 3. Он показывает, во сколько раз значение y отличается от x. Такая запись помогает описывать ситуации, где одна величина изменяется в несколько раз вместе с другой.

График прямой пропорциональности — прямая, которая изображает все пары значений x и y, связанные формулой y = kx. Каждой паре соответствует точка с координатами (x; y) на плоскости. Прямая обязательно проходит через начало координат, то есть точку (0; 0). По графику можно увидеть связь величин и прочитать подходящие значения.

Обратная пропорциональность — зависимость вида y = k/x, где k — постоянное число, а x не равно нулю. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности: оно равно произведению xy. Поэтому, зная k и одну из величин, можно найти другую. Такая формула подходит, когда увеличение одной величины приводит к уменьшению другой при неизменном произведении.

График обратной пропорциональности — множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению y = k/x. Он называется гиперболой и состоит из двух отдельных ветвей. Ни одна точка графика не лежит на координатных осях, потому что x и y не могут быть равны нулю. По расположению ветвей можно судить о знаке коэффициента k.

Как это устроено

В формуле y = kx число k не меняется, поэтому каждое значение x умножается на один и тот же множитель. Например, если y = 2x, то при x = −2 получаем y = −4, а при x = 1 — y = 2. Таблица показывает эту связь на нескольких парах значений. Если x увеличить в несколько раз, y увеличится во столько же раз, а отношение y/x останется равным k.

Точки графика y = kx лежат на одной прямой, потому что при изменении x значение y меняется с постоянной скоростью: к каждому шагу по горизонтали соответствует одинаковое изменение по вертикали. Координаты всех точек удовлетворяют одной линейной формуле. При x = 0 произведение kx равно нулю, поэтому среди точек есть (0; 0). Через эту точку и проходит прямая графика.

Для обратной пропорциональности из равенства y = k/x следует xy = k: умножение обеих частей на x возвращает постоянное произведение. Это удобно, если известны произведение и один множитель. Например, при k = 12 и x = 3 значение y равно 12 : 3 = 4. Если известны y и k, неизвестное x находят так же: x = k/y, причём делитель y не должен быть нулём.

График y = k/x состоит из двух ветвей, потому что значения x могут быть положительными или отрицательными, но x = 0 исключено. При ненулевом k значение y тоже не может быть нулём: иначе произведение xy оказалось бы нулём, а оно равно k. Поэтому график не пересекает ни вертикальную, ни горизонтальную ось. Ветви приближаются к осям, но не соединяются через них.

Знак k влияет на расположение графиков. В формуле y = kx при положительном k значения x и y имеют одинаковый знак, поэтому прямая поднимается слева направо; при отрицательном k знаки разные, и прямая опускается. Для y = k/x положительный коэффициент даёт одинаковые знаки x и y, а значит, ветви находятся в I и III четвертях. При отрицательном k знаки координат разные, поэтому ветви располагаются во II и IV четвертях.

Сравнение прямой и обратной пропорциональностей

Сначала посмотрите на формулу: в y = kx постоянным остаётся отношение y/x, а в y = k/x — произведение xy. Затем проверьте допустимые значения x и определите вид графика. Знак k помогает понять, в какую сторону направлена прямая или в каких четвертях расположены ветви гиперболы.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график зависимости y = 2x, составив таблицу для x = −2, −1, 0, 1, 2. Для каждого значения умножим x на 2, потому что так задана формула. Полученные пары координат нужно отметить на плоскости. Так как зависимость прямая пропорциональная, отмеченные точки лежат на одной прямой.

1. При x = −2, −1, 0, 1, 2 получаем соответственно y = −4, −2, 0, 2, 4.
2. Составляем пары: (−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4).
3. Отмечаем точки и проводим через них прямую. Она проходит через начало координат.

Ответ: график — прямая через точки (−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4).

Задача 2. График прямой пропорциональности проходит через точку (3; 12). Найдите формулу зависимости и постройте график. Раз график прямой пропорциональности, его формула имеет вид y = kx. Подставим координаты известной точки и найдём неизвестный множитель k; затем выберем ещё несколько значений x.

1. Подставляем x = 3 и y = 12: 12 = 3k.
2. Делим обе части на 3 и получаем k = 4, значит, формула — y = 4x.
3. Для построения можно взять x = 0 и x = 1: получаем точки (0; 0) и (1; 4). Проводим через них прямую.

Ответ: y = 4x; график проходит через точки (0; 0), (1; 4) и (3; 12).

Задача 3. Зависимость задана формулой y = 12/x. Найдите y при x = −3, −1, 1, 3, постройте график и проверьте точку (4; 3). Сначала вычислим значения по формуле, не забывая, что на ноль делить нельзя. Затем отметим пары точек и изобразим две ветви гиперболы. Для проверки точки подставим её координаты в уравнение.

1. При x = −3, −1, 1, 3 получаем y = −4, −12, 12, 4.
2. Отмечаем точки (−3; −4), (−1; −12), (1; 12), (3; 4); ветви графика располагаются в I и III четвертях, так как k = 12 > 0.
3. Для точки (4; 3): 12/4 = 3, что совпадает с её координатой y. Значит, точка удовлетворяет формуле.

Ответ: значения y равны −4, −12, 12, 4; точка (4; 3) лежит на графике.

Типичные ошибки

Иногда считают, что график y = kx не проходит через начало координат, потому что строят его только по точкам с ненулевым x. Но при x = 0 формула даёт y = 0, поэтому точка (0; 0) обязательно принадлежит графику. Проверьте себя: подставьте ноль в формулу и убедитесь, что обе координаты получаются нулевыми.

В формулу y = k/x иногда подставляют x = 0, желая найти значение в начале координат. Это невозможно: деление на ноль не имеет смысла, поэтому ноль исключён из допустимых значений x. Перед вычислением проверьте знаменатель. Если он равен нулю, такой точки на графике нет.

Нельзя соединять ветви гиперболы через оси или изображать так, будто график их пересекает. Такая ошибка возникает, когда график рисуют как одну непрерывную линию, не учитывая, что x и y не равны нулю. Убедитесь, что на каждой отмеченной точке обе координаты отличны от нуля. Ветви приближаются к осям, но не касаются их и не проходят сквозь них.

Формулы y = kx и y = k/x легко перепутать: в первой постоянным является отношение y/x, во второй — произведение xy. Иногда при решении смотрят только на букву k и не проверяют действие между x и k. Подставьте любое подходящее значение и проверьте, что вычислили y именно по исходной формуле. Например, при k = 6 и x = 2 первая формула даёт 12, а вторая — 3.

Связь с другими темами

Чтобы строить эти графики, нужно уметь находить точку по её координатам и читать значения по формуле. Таблицы пропорциональных величин помогают увидеть, как меняются пары чисел, а умение находить неизвестный множитель или делитель позволяет вычислять коэффициент и пропущенное значение. Позже графики пригодятся при изучении функций и решении задач о зависимостях величин. Их также используют в естественных науках, когда нужно представить и прочитать данные о движении, измерениях или других процессах.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx.
• График y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• Обратная пропорциональность задаётся формулой y = k/x, где x ≠ 0.
• Для обратной пропорциональности произведение xy равно постоянному числу k.
• График y = k/x — гипербола из двух ветвей.
• Знак k определяет расположение графика относительно координатных осей.