"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Рациональное число — это число, которое можно записать дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. К таким числам относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Одно и то же число часто можно записать по-разному: например, 3/5 и 12/20 равны. Это понятие помогает объединить знакомые числа и дальше сравнивать их, упорядочивать и выполнять с ними действия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. Например, 2/3 и −5/4 — рациональные числа. Такое определение объединяет в одну группу целые числа и дроби, которые мы уже знаем.
Запись m/n задаёт дробь: m называют числителем, а n — знаменателем. Числитель показывает, какое число записано сверху, а знаменатель — на сколько равных частей делят целое. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на нуль не определено.
Множество всех рациональных чисел обозначают буквой Q. В него входят целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби. Обозначение Q удобно, когда нужно говорить сразу обо всех числах этого вида, а не перечислять их по одному.
Натуральное число можно представить дробью со знаменателем 1: например, 7 = 7/1. При делении на 1 число не меняется, поэтому дробная запись равна исходному числу. Нуль тоже рационален: 0 = 0/1, и здесь знаменатель остаётся натуральным.
Отрицательное целое число также можно записать дробью со знаменателем 1: −4 = −4/1. Знак минус находится у числителя, а знаменатель остаётся натуральным, как требует определение. Значит, рациональными бывают не только положительные числа, но и отрицательные целые числа.
Одну величину можно записать несколькими дробями. Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, дробь не изменится: например, 3/5 = 12/20, потому что обе части первой дроби умножили на 4. Деление числителя и знаменателя на общий ненулевой делитель тоже сохраняет значение. Это помогает находить равные дроби и выбирать более удобную запись.
Конечная десятичная дробь всегда может быть записана обыкновенной дробью: например, 0,4 = 4/10 = 2/5. Знаменатель сначала можно получить из разряда последней цифры после запятой, а затем сократить дробь. Периодическая десятичная дробь тоже соответствует дроби вида m/n: повторяющийся узор цифр позволяет выразить её через дробь.
Рациональное число — это само число, а дробь m/n — один из способов его записи. Например, 3/5 и 12/20 выглядят по-разному, но обозначают одну величину. Поэтому нельзя считать, что каждая новая дробная запись означает новое число. Сравнивать нужно значения дробей, а не только их вид.
| Вид числа | Представление m/n | Пример |
|---|---|---|
| Натуральное число | a/1 | 7 = 7/1 |
| Нуль | 0/1 | 0 = 0/1 |
| Отрицательное целое число | −a/1 | −4 = −4/1 |
| Не целое рациональное число | m/n, где n больше 1 | 3/5 |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите, к какому виду относится число. Затем подставьте его в соответствующую дробную запись и проверьте, что знаменатель натуральный. Для нецелого рационального числа подходят, например, дроби 3/5 или 7/2.
Задача 1. Представьте числа 7, 0 и −4 в виде дробей с натуральным знаменателем. Все три числа целые, поэтому удобно взять знаменатель 1: деление на единицу сохраняет исходное значение. Запишем каждое число по этому правилу.
Ответ: 7/1, 0/1 и −4/1. У всех дробей знаменатель равен натуральному числу 1.
Задача 2. Покажите, что дроби 3/5 и 12/20 задают одно и то же рациональное число. Чтобы проверить равенство, можно преобразовать одну дробь и сравнить результат со второй. Числитель и знаменатель нужно менять одинаково, иначе значение дроби изменится.
Ответ: дроби равны и обозначают одно рациональное число.
Задача 3. Определите, какие из чисел 0,4; −1,25; 0,(3); √2 являются рациональными. Проверим, удаётся ли представить каждое число дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. Для десятичных дробей учитываем, конечна ли запись или повторяется ли в ней период.
Ответ: рациональны 0,4, −1,25 и 0,(3); число √2 не является рациональным.
Ошибка: считать, что знаменатель в записи m/n может быть равен нулю. Иногда думают, что ноль просто означает отсутствие частей, но деление на нуль не имеет смысла. Проверьте себя: знаменатель должен быть натуральным числом, то есть положительным и не равным нулю.
Ошибка: полагать, что рациональными бывают только положительные числа. Такое мнение возникает, если помнить только обычные дроби с положительными числителями. Запишите отрицательное целое число, например −4 = −4/1, и увидите, что оно тоже подходит под определение.
Ошибка: считать, что разные дроби обязательно обозначают разные числа. Записи 3/5 и 12/20 отличаются, но вторая получается из первой умножением числителя и знаменателя на 4. Для проверки равенства сравните дроби после приведения к общему знаменателю или преобразуйте одну из них.
Ошибка: называть рациональной любую бесконечную десятичную дробь. Бесконечная запись сама по себе ещё ничего не доказывает: у рациональной дроби цифры после некоторого места повторяются. Проверьте, есть ли постоянный период; например, 0,(3) рационально, а непериодическая запись √2 — нет.
Для работы с рациональными числами нужны знания о целых числах, обыкновенных дробях и делении. В частности, нужно понимать, что показывает знаменатель и почему делить на нуль нельзя. Позже рациональные числа помогут сравнивать и упорядочивать положительные и отрицательные дроби, а также выполнять с ними действия.
Это понятие объединяет уже знакомые виды чисел и готовит к их изображению на координатной прямой. Оно также помогает перейти к изучению числовых множеств и увидеть, что не всякое число можно записать обыкновенной дробью.
Почему в записи рационального числа знаменатель не может быть нулём?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей делят целое. Делить на нуль нельзя: такого результата не существует. Поэтому в записи m/n знаменатель n должен быть натуральным числом.
Является ли нуль рациональным числом?
Да. Нуль можно записать дробью 0/1. Числитель здесь целый, а знаменатель — натуральное число.
Почему целое число можно считать дробью?
Любое целое число можно записать со знаменателем 1: например, 7 = 7/1, а −4 = −4/1. Деление на 1 не меняет число, поэтому такая дробь равна исходному целому числу.
Могут ли две разные дроби обозначать одно и то же число?
Да. Если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Например, 3/5 = 12/20.
Всегда ли бесконечная десятичная дробь является рациональной?
Нет. Рациональной является бесконечная десятичная дробь, в которой цифры повторяются с некоторого места. Например, 0,(3) рационально, а √2 имеет бесконечную непериодическую запись и рациональным не является.
§ 1. Понятие рационального числа
