1. Положительные и отрицательные числа

Определения и обозначения

Положительное число — это число больше нуля. Его можно записать без знака, например 5, или со знаком «+»: +5. Знак обычно не пишут, потому что число без знака по умолчанию считается положительным; явная запись помогает подчеркнуть его знак.

Отрицательное число — это число меньше нуля. Перед ним ставят знак «−», например −3 или −12. Знак показывает, что число находится по другую сторону от нуля, чем положительные числа, и позволяет записывать величины вроде температуры ниже нуля.

Нуль — число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Он отделяет положительные числа от отрицательных и служит началом отсчёта на координатной прямой. Например, нулевая температура означает, что значение находится ровно на отметке 0 °C.

Противоположные числа — числа, которые отличаются только знаком и расположены на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны от него. Например, числа 4 и −4 противоположны: каждое отстоит от нуля на 4 единицы. Это понятие помогает находить числа, симметричные относительно нуля.

Как это устроено

Натуральные числа подходят для счёта предметов, но не описывают, например, температуру ниже нуля или этажи ниже первого этажа. Если выбрать нуль как условную границу, значения по одну сторону можно считать положительными, а по другую — отрицательными. Поэтому к привычным числам добавляют отрицательные: с их помощью можно указать не только величину, но и сторону от выбранного нуля.

Знаки «+» и «−» перед числом показывают, по какую сторону от нуля оно находится. Знак «+» часто опускают, а «−» у отрицательного числа необходим. Но похожий знак может обозначать действие: в записи 7 − 5 он означает вычитание, а в записи −5 относится к самому числу. Смотри на место знака: перед числом он указывает его знак, между числами — действие.

На координатной прямой отмечают нуль и единичные деления. Числа увеличиваются при движении вправо, поэтому положительные числа оказываются справа от нуля. Отрицательные числа меньше нуля, значит, их отмечают слева; чем дальше точка от нуля, тем дальше от него соответствующее число. Такая прямая наглядно показывает и положение чисел, и расстояния между отметками.

Противоположные числа находятся на равном расстоянии от нуля, потому что у них одинаковая числовая величина без учёта знака. Однако одно число расположено слева, а другое справа. Например, 6 и −6 отстоят от нуля на шесть единичных отрезков, но не совпадают. Нуль — особый случай: он противоположен самому себе.

Сравнивать числа удобно по координатной прямой: число, расположенное правее, больше числа, расположенного левее. Поэтому любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа. Среди отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю: −2 правее −5, значит, −2 > −5. Так можно сравнить числа, не ориентируясь только на величину цифр без учёта знака.

Положительные, отрицательные числа и нуль

Чтобы определить, к какой группе относится число, сравни его с нулём или посмотри на знак перед ним. Для сравнения нескольких чисел представь их расположение слева направо на координатной прямой. Помни: сам нуль не входит ни в положительные, ни в отрицательные числа.

Разбор задач

Противоположные числа

Задача. Запишите числа, противоположные числам 7 и −4. Противоположное число должно находиться на таком же расстоянии от нуля, но с другой стороны. Значит, нужно сохранить числовую величину и изменить знак.

1. Число 7 положительное, поэтому противоположное ему число — −7.
2. Число −4 отрицательное, поэтому противоположное ему число — 4.
3. Проверим: 7 и −7, а также −4 и 4 отстоят от нуля на одинаковое количество единичных отрезков.

Ответ: −7 и 4.

Порядок чисел

Задача. Расположите числа −3, 2, 0, −1 на координатной прямой и запишите их в порядке возрастания. Сначала разделим числа на отрицательные, нуль и положительные. Затем расположим их слева направо: отрицательные будут слева, положительное — справа от нуля.

1. Из отрицательных чисел −3 находится левее −1, потому что дальше от нуля влево.
2. После отрицательных на прямой стоит 0, а справа от него — 2.
3. Запишем числа в том же порядке, в каком они расположены слева направо.

Ответ: −3, −1, 0, 2.

Изменение температуры

Задача. Утром температура была −6 °C, а днём стала на 9 °C выше. Какой стала температура? Повышение означает движение в сторону больших чисел, то есть вправо по координатной прямой. Начнём с отметки −6 и пройдём вправо девять единичных делений.

1. От −6 до нуля нужно пройти 6 делений.
2. Из оставшихся 3 делений пройдём вправо от нуля: попадём на 3.
3. То же изменение можно записать как −6 + 9 = 3.

Ответ: температура стала 3 °C.

Типичные ошибки

Нуль иногда относят к положительным числам, потому что его записывают без знака, или к отрицательным — из-за того, что он не больше положительных. Но положительное число строго больше нуля, а отрицательное строго меньше. Проверяй число сравнением с нулём: сам нуль равен нулю и не относится ни к одной группе.

При сравнении отрицательных чисел можно ошибочно решить, что число с большим модулем больше: например, что −8 > −3, потому что 8 > 3. Но на прямой −8 находится левее −3, поэтому −8 < −3. Проверяй сравнение расположением точек: правое число всегда больше.

Знак числа можно спутать со знаком действия. В записи −5 знак «−» перед числом показывает, что оно отрицательное, а в записи 7 − 5 знак между числами означает вычитание. Ошибка возникает, если не учитывать место знака. Чтобы проверить себя, выясни, относится ли «−» к одному числу или стоит между двумя числами.

Противоположные числа могут показаться равными, потому что находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Например, 4 и −4 одинаково удалены от нуля, но первое расположено справа, а второе слева. Значит, они не равны и имеют разные знаки. Проверяй не только расстояние, но и сторону от нуля.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно знать натуральные числа и нуль: они помогают понять, какие числа уже знакомы и где проходит граница отсчёта. Также пригодятся числовые выражения и координатный луч, где числа располагаются по порядку. Координатная прямая продолжает эту идею в обе стороны от нуля, поэтому на ней можно изображать и отрицательные числа.

Положительные и отрицательные числа нужны для дальнейшего изучения координатной прямой и сравнения чисел. Они также используются при действиях с рациональными числами — числами, которые могут быть положительными, отрицательными или нулём. Понимание знаков и расположения чисел помогает проверять порядок и смысл вычислений.

Что запомнить

• Положительное число больше нуля.
• Отрицательное число меньше нуля.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Положительные числа на координатной прямой расположены справа от нуля, отрицательные — слева.
• Чем правее число на координатной прямой, тем оно больше.
• Противоположные числа отличаются только знаком.