2. Противоположные числа и модуль

Определения и обозначения

Противоположные числа отличаются только знаками и при сложении дают ноль: 5 и −5, −3 и 3. Например, 5 + (−5) = 0. Такие пары помогают увидеть, какие числа взаимно «уравновешивают» друг друга.

Число, противоположное данному, — это число, которое при сложении с данным обращает сумму в ноль. Например, противоположное числу −3 — число 3, потому что −3 + 3 = 0. У нуля противоположное число — сам ноль: 0 + 0 = 0.

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта, то есть до нуля. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен. Это понятие позволяет говорить о том, как далеко число находится от нуля, не учитывая сторону.

Модуль числа a записывают с помощью вертикальных черт: |a|. Например, |5| = 5 и |−5| = 5, потому что оба числа находятся от нуля на расстоянии 5 единиц. Обозначение помогает отделить расстояние до нуля от самого числа и его знака.

Как это устроено

На координатной прямой противоположные числа изображаются точками по разные стороны от нуля. Если от нуля пройти, например, 4 единицы вправо, получится точка 4, а если пройти 4 единицы влево — точка −4. Поэтому точки противоположных чисел равноудалены от нуля, но находятся с разных сторон.

У противоположных чисел одинаковые модули: их точки расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчёта. Например, |−6| = |6| = 6. Равенство модулей объясняется тем, что при переходе от одного числа к противоположному меняется направление на прямой, но не длина пути от нуля.

Чтобы найти число, противоположное данному, у ненулевого числа нужно изменить знак: противоположное числу 8 — −8, а числу −8 — 8. Это правило работает, потому что сумма числа и числа с обратным знаком равна нулю. Для нуля смена знака ничего не меняет: −0 — это 0.

Модуль положительного числа равен самому числу, потому что оно уже показывает расстояние от нуля. Модуль отрицательного числа равен числу, противоположному ему: например, |−7| = 7. Ноль не удалён от самого себя, поэтому |0| = 0; во всех случаях результат неотрицателен.

Сравнивая модули, мы сравниваем расстояния чисел от нуля. Например, |−6| больше |2|, значит, −6 находится дальше от нуля, чем 2. Но это не говорит, какое число больше: на прямой −6 расположено левее 2, поэтому −6 < 2.

Число и его модуль

Сначала определите, положительное число, отрицательное оно или равно нулю: так можно найти его положение и противоположное число. Затем найдите расстояние от точки до нуля — это и будет модуль. Для проверки сравните модуль числа и его противоположного: они должны совпасть.

Разбор задач

1. Противоположное число и модуль

Запишите число, противоположное числу −8, и найдите модуль числа −8. Здесь важно не перепутать две операции: противоположное число нужно сложить с исходным, а модуль показывает расстояние до нуля. Поэтому сначала меняем знак, а затем находим расстояние.

1. Число, противоположное −8, имеет другой знак и ту же величину: это 8.
2. Проверим: −8 + 8 = 0, значит, числа противоположны.
3. Точка −8 находится от нуля на расстоянии 8 единиц, поэтому |−8| = 8.

Ответ: противоположное число — 8; модуль числа −8 равен 8. В этой задаче оба результата одинаковы, но смысл у них разный: 8 — число, а модуль 8 — расстояние от нуля. Проверка сложением подтверждает только то, что числа противоположны.

2. Точки −4 и 4

Отметьте на координатной прямой числа −4 и 4, найдите их модули и объясните, почему они равны. Число −4 расположено слева от нуля, а 4 — справа. Чтобы увидеть связь между ними, сравним расстояния от каждой точки до начала отсчёта.

1. От нуля отсчитываем 4 единицы влево и отмечаем −4.
2. От нуля отсчитываем 4 единицы вправо и отмечаем 4.
3. Каждая точка удалена от нуля на 4 единицы, поэтому |−4| = 4 и |4| = 4.

Ответ: модули чисел −4 и 4 равны 4. Точки симметричны относительно нуля: переход с одной стороны на другую меняет знак числа, но не расстояние. Поэтому числа противоположны и имеют одинаковые модули.

3. Наибольший модуль и порядок чисел

Из чисел −7, 3 и −2 выберите число с наибольшим модулем и расположите числа по возрастанию. Эти действия требуют двух разных сравнений: модуль показывает расстояние до нуля, а порядок чисел зависит от их положения на прямой. Поэтому сначала отдельно вычислим модули, а затем сравним сами числа.

1. Найдём модули: |−7| = 7, |3| = 3, |−2| = 2.
2. Наибольший модуль равен 7, значит, дальше всех от нуля находится число −7.
3. Для порядка используем координатную прямую: −7 левее −2, а −2 левее 3.

Ответ: наибольший модуль у числа −7; по возрастанию числа расположены так: −7, −2, 3. Обратите внимание: число с наибольшим модулем здесь не является наибольшим числом. Оно дальше всех от нуля, но находится слева от остальных.

Типичные ошибки

Иногда противоположным числу −a называют −a. Но −a — это исходное число, если оно уже дано в таком виде; противоположное ему число — a. Ошибку допускают, когда не различают само число и запись с минусом перед ним. Проверьте себя сложением: противоположное число должно дать с исходным ноль.

Модуль отрицательного числа иногда записывают отрицательным, например |−5| = −5. Так забывают, что модуль показывает расстояние, а оно не может быть меньше нуля. Чтобы проверить ответ, посмотрите, не стоит ли перед результатом минус: у модуля отрицательного числа знак результата положительный, а у нуля результат равен нулю.

Одинаковые модули не означают, что числа равны: 5 и −5 различны, хотя |5| = |−5|. Ошибка возникает, если расстояние принимают за само число и не учитывают сторону от нуля. Проверьте числа на координатной прямой: одинаковое расстояние может соответствовать двум точкам по разные стороны от начала отсчёта.

Из |−6| > |2| не следует, что −6 > 2: первое сравнение говорит только о расстояниях до нуля. Эту ошибку допускают, когда переносят сравнение модулей на сами числа. Сначала уточните, что именно сравниваете: для модулей — расстояние, а для чисел — положение на прямой; здесь −6 < 2.

Связь с другими темами

Для работы с противоположными числами нужно уметь изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой и понимать, где находится ноль. Знание сторон и расстояний помогает не путать знак числа с его модулем. Эти понятия пригодятся при сложении и вычитании отрицательных чисел, сравнении чисел и решении уравнений. В следующих задачах противоположное число помогает находить слагаемое, которое обращает сумму в ноль.

Что запомнить

• Противоположные числа в сумме дают ноль.
• У ненулевого числа противоположное число имеет такой же модуль и другой знак.
• Число, противоположное нулю, — ноль.
• Модуль числа — расстояние от соответствующей точки до нуля.
• Модуль неотрицателен.
• |a| = |−a|.
• |0| = 0.