3. Сравнение рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональными называют числа, которые можно записать в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. Например, 3/4, −2/5 и 6 = 6/1 — рациональные числа. Такая запись помогает работать с целыми числами, обыкновенными дробями и их другими формами по одним правилам.

Сравнить два рациональных числа — значит выяснить, какое из них больше, какое меньше или равняется другому. Для записи используют знаки >, < и =: например, 4 > 1, −3 < 0, ½ = 0,5. Сравнение нужно, чтобы упорядочить числа и понять, какое значение больше в задаче.

Числовая прямая — это прямая с началом отсчёта, направлением и единичным отрезком, на которой числа изображают точками. Из двух чисел больше то, чья точка расположена правее. Эта наглядная опора позволяет сравнивать числа, даже если они записаны по-разному.

Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей это число, до нуля. Его обозначают вертикальными чертами: |−4| = 4 и |4| = 4, потому что обе точки отстоят от нуля на четыре единицы. Модуль помогает сравнивать отрицательные числа, но сам по себе не показывает, какое из них больше.

Как это устроено

Положительные числа на числовой прямой находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. Поэтому число, расположенное правее, всегда больше: например, −2 больше −5, хотя оба числа отрицательные. Для чисел разных знаков достаточно посмотреть, по какую сторону от нуля они находятся.

Любое отрицательное число меньше нуля, потому что его точка расположена левее нуля. Любое положительное число, наоборот, находится правее нуля и больше него. Значит, отрицательное число всегда меньше положительного: между ними лежит ноль.

Чтобы сравнить положительные дроби с разными знаменателями, их удобно привести к общему знаменателю. Тогда части целого становятся одинакового размера, и можно сравнить, сколько таких частей взято: больше числитель — больше дробь. Например, 3/4 = 6/8, а 6/8 больше 5/8.

У отрицательных чисел знак меняет порядок, который получается при сравнении модулей. Представь числа −2 и −7: модуль 7 больше модуля 2, но точка −7 дальше от нуля влево, значит, −7 меньше −2. Поэтому из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.

Если дроби имеют разные знаки, отрицательная всегда меньше положительной, и вычислять их модули для сравнения не обязательно. Равные рациональные числа могут выглядеть по-разному: например, 2/4, ½ и 0,5 обозначают одно и то же значение. Чтобы проверить равенство, можно привести дроби к общему знаменателю или преобразовать записи к одной форме.

Правила сравнения рациональных чисел

Сначала определи, какого типа числа сравниваешь, а затем выбери соответствующую строку таблицы. Для чисел разных знаков решение обычно сразу видно по их расположению относительно нуля. Если сравниваешь отрицательные числа, не забудь обратить порядок модулей.

Разбор задач

Сравните −3 и 2.

1. Определи знаки чисел: −3 — отрицательное, а 2 — положительное.
2. На числовой прямой отрицательное число лежит левее нуля, а положительное — правее.
3. Значит, −3 расположено левее 2 и является меньшим числом.

Ответ: −3 < 2.

Сравните 3/4 и 5/8.

1. Знаменатели 4 и 8 разные, поэтому напрямую сравнивать числители 3 и 5 нельзя.
2. Приведи 3/4 к знаменателю 8: умножь числитель и знаменатель на 2. Получится 3/4 = 6/8.
3. Теперь знаменатели равны, а 6 > 5. Значит, шесть восьмых больше пяти восьмых.

Ответ: 3/4 > 5/8.

Сравните −7/12 и −2/3.

1. Оба числа отрицательные, поэтому сначала сравни их модули: 7/12 и 2/3.
2. Приведи 2/3 к знаменателю 12: умножь числитель и знаменатель на 4. Получится 2/3 = 8/12.
3. Так как 7/12 < 8/12, модуль числа −7/12 меньше модуля числа −2/3. У отрицательных чисел порядок обратный, значит, −7/12 больше −2/3.

Ответ: −7/12 > −2/3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что отрицательное число с большим модулем больше. Так происходит, если забыть, что отрицательные числа расположены слева от нуля: чем дальше точка влево, тем меньше число. Проверь себя, отметив числа на прямой: −8 лежит левее −3, значит, −8 < −3.

Ошибка: сравнить модули отрицательных чисел и оставить полученный знак. Порядок самих чисел противоположен порядку модулей, потому что увеличение модуля уводит отрицательное число дальше влево. После сравнения модулей поменяй знак сравнения на противоположный.

Ошибка: сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям. Размер дроби зависит от обеих частей записи, поэтому один числитель или знаменатель не даёт ответа. Приведи дроби к общему знаменателю, а затем сравни числители.

Ошибка: считать, что дробь с большим знаменателем всегда меньше. При увеличении знаменателя части действительно могут стать меньше, но значение зависит и от числителя: например, 3/8 меньше 1/2, а 6/8 больше 1/2. Проверь дроби приведением к общему знаменателю или другим верным способом.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел пригодятся навыки работы с числовой прямой и сравнения целых чисел. Также нужно уметь находить дроби, равные данной: это позволяет приводить дроби к общему знаменателю, не меняя их значения. Если эти действия пока вызывают трудности, повтори их перед решением примеров.

Упорядочивание рациональных чисел помогает решать неравенства и оценивать выражения. Например, сравнение позволяет понять, между какими числами находится результат вычисления, и проверить, разумен ли ответ. Поэтому умение сравнивать числа используется во многих задачах, а не только в примерах на дроби.

Что запомнить

• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое отрицательное число меньше нуля.
• Любое положительное число больше нуля.
• Любое положительное число больше любого отрицательного.
• Чтобы сравнить положительные дроби, их можно привести к общему знаменателю.
• Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.