"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Рациональные числа сравнивают, чтобы установить, какое из них больше, меньше или равняется другому, и расположить числа по порядку. К ним относятся целые числа и дроби, в том числе конечные десятичные дроби; каждое рациональное число можно записать в виде дроби. Удобнее всего представить числа на координатной прямой: точка правее соответствует большему числу. Если сравниваются числа с одинаковым знаком, учитывают их модули, а для дробей при необходимости находят общий знаменатель или переходят к десятичной записи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. К ним относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби. Например, −3 = −3/1, а 0,5 = 1/2. Эта запись помогает применять к числам общие правила и сравнивать их разными способами.
Сравнение рациональных чисел — это установление отношений «больше», «меньше» или «равно» между числами. Для записи используют знаки >, < и =: например, 4 > 1, −2 < 0, 0,5 = 1/2. Сравнение нужно, чтобы определить порядок чисел и выбрать большее или меньшее значение.
Координатная прямая — это прямая, на которой отмечены начало отсчёта, единичный отрезок и направление положительных чисел. Каждому числу соответствует точка, а порядок чисел виден по расположению этих точек. Такое изображение особенно удобно, когда нужно проверить знак неравенства или расположить несколько чисел по порядку.
Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число, до начала координат. Его обозначают вертикальными чертами: например, |−4| = 4 и |3| = 3. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль помогает сравнивать числа с одинаковыми знаками.
На координатной прямой числа возрастают слева направо: при движении вправо каждая следующая точка соответствует большему значению. Это связано с направлением отсчёта: правее нуля откладывают положительные числа, а шаги влево соответствуют уменьшению. Поэтому из двух чисел больше то, точка которого расположена правее. Например, −1 < 2, потому что −1 находится левее 2.
Если числа имеют разные знаки, одно расположено слева от нуля, а другое — справа. Положительное число находится правее нуля, отрицательное — левее, поэтому положительное всегда больше отрицательного. Например, −3 < 2 независимо от того, насколько велики модули чисел. Ноль также больше любого отрицательного и меньше любого положительного числа.
Для двух положительных чисел сравнение сводится к сравнению расстояний от нуля. У них обе точки расположены справа, и дальше от нуля находится большее число. Например, 3/5 < 4/5: знаменатели одинаковые, а 3/5 ближе к нулю, чем 4/5. Здесь порядок модулей совпадает с порядком самих чисел.
С отрицательными числами направление сравнения меняется. Чем больше модуль отрицательного числа, тем дальше его точка от нуля влево, а значит, само число меньше. Например, −5 < −2, хотя |−5| > |−2|: точка −5 расположена левее. Поэтому из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.
Обыкновенные дроби сравнивают, приведя их к общему знаменателю: тогда достаточно сравнить числители. Например, 2/3 = 4/6, а 5/6 больше 4/6, значит, 5/6 > 2/3. Десятичные записи можно сравнивать по разрядам, при необходимости дописав нули справа: 0,7 = 0,70, поэтому 0,70 > 0,68. Разные формы записи одного значения обозначают равные числа, как 0,5 и 1/2.
Найди в таблице ситуацию, которая подходит к паре чисел, и примени указанное правило. В дробях с разными знаменателями сперва приведи их к общему виду, а затем сравни. Для проверки результата представь числа на координатной прямой.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Числа имеют разные знаки | Положительное число больше отрицательного | −3 < 2 |
| Числа положительные | Больше число с большим модулем | 3/5 < 4/5 |
| Числа отрицательные | Больше число с меньшим модулем | −2/3 > −5/6 |
| Числа равны | Числа имеют одинаковое значение, даже если записаны по-разному | 0,5 = 1/2 |
| Сравнение по координатной прямой | Правее расположенное число больше левого | −1 < 0 < 2 |
Задача 1. Сравнить числа −4 и 3. Эти числа имеют разные знаки, поэтому не нужно сравнивать их модули. Число 3 положительное, а −4 отрицательное. На координатной прямой 3 находится справа от −4.
Ответ: −4 < 3. Этот вывод не зависит от того, что модуль числа −4 больше единицы: при разных знаках решает положение относительно нуля.
Задача 2. Сравнить числа −3/4 и −5/8. Оба числа отрицательные, значит, сначала сравним их модули. Знаменатели разные, поэтому нельзя сравнивать только числители; приведём дроби к знаменателю 8. Получим 3/4 = 6/8, а теперь легко увидеть, что 6/8 > 5/8.
Ответ: −3/4 < −5/8. Проверка по прямой подтверждает результат: −3/4 находится левее −5/8.
Задача 3. Расположить в порядке возрастания числа −1,2; 2/3; −0,75; 0. Возрастание означает движение от меньшего числа к большему, то есть слева направо по координатной прямой. Сначала сравним отрицательные числа, затем поставим ноль, а после него положительное число. Чтобы сравнить 2/3 с остальными, запишем дробь десятичным числом: 2/3 = 0,666….
Ответ: −1,2; −0,75; 0; 2/3. При записи перечня неравенств можно поставить между соседними числами знак <.
Ошибка: считать, что число с большим модулем всегда больше. Так рассуждают, перенося правило для положительных чисел на отрицательные. Проверь, какого знака числа: если оба отрицательные, больший модуль означает меньшее число, например −7 < −3.
Ошибка: забывать, что положительное число больше любого отрицательного. Иногда сравнивают только модули и получают неверный ответ. Сначала посмотри на знаки: если они разные, положительное число сразу ставь правее и считай большим.
Ошибка: сравнивать числители дробей с разными знаменателями, не преобразуя дроби. Один и тот же числитель при разных знаменателях может давать разные значения. Приведи дроби к общему знаменателю или десятичной записи и только после этого сравнивай.
Ошибка: поставить знак в неверную сторону после сравнения отрицательных чисел. Это часто происходит, когда модули сравнили правильно, но забыли обратить порядок самих чисел. Проверь ответ по координатной прямой: левее стоящее число должно оказаться меньшим.
Для сравнения понадобятся знания о положительных и отрицательных числах, координатной прямой, модуле и сравнении дробей. Если эти понятия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить, как числа располагаются относительно нуля и как дроби приводят к общему знаменателю. Умение сравнивать числа нужно при решении неравенств, упорядочивании значений и работе с координатами. Эти правила также пригодятся при изучении действий с рациональными числами и числовых промежутков.
Почему −5 меньше, чем −2, хотя его модуль больше?
На координатной прямой точка −5 находится левее точки −2, поэтому −5 < −2. У отрицательных чисел большему модулю соответствует число, расположенное дальше влево.
Как сравнить отрицательные дроби с разными знаменателями?
Сначала сравни модули дробей: приведи их к общему знаменателю или запиши в десятичном виде. Затем учти, что для отрицательных чисел больше та дробь, у которой модуль меньше.
Можно ли сравнивать дроби только по числителям?
Только если дроби имеют одинаковые знаменатели: тогда большему числителю соответствует большая дробь. При разных знаменателях сначала приведи дроби к общему знаменателю или сравни их другим подходящим способом.
Почему ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом?
Положительные числа больше нуля, а отрицательные меньше нуля. Сам ноль не больше и не меньше себя, поэтому он не относится ни к одной из этих групп.
Как не ошибиться при расстановке знаков «больше» и «меньше»?
Представь числа на координатной прямой: остриё знака неравенства направляют к меньшему числу, а раскрытую часть — к большему. Для отрицательных чисел сначала можно сравнить модули, но затем обязательно поменять порядок: больше число с меньшим модулем.
3. Сравнение рациональных чисел
