7.3. Сравнение рациональных чисел

Определения и обозначения

Сравнение рациональных чисел — это установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Рациональными называют целые числа и дроби, которые можно записать в виде отношения целых чисел. Сравнение нужно, чтобы располагать числа по порядку и решать неравенства.

Знаки сравнения — это символы >, < и =. Запись 5 > 2 означает «пять больше двух», а −1 < 3 — «минус один меньше трёх». Знак = показывает, что числа равны, например ½ = 0,5.

Противоположные числа отличаются знаками и имеют одинаковые модули, то есть находятся на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны от него. Например, 7 и −7 — противоположные числа. Если противоположные числа не равны нулю, положительное из них всегда больше отрицательного.

Числовая прямая — это прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным положительным направлением. Начало отсчёта обозначают нулём, а числа отмечают на расстоянии, равном их модулям. Положение чисел на этой прямой помогает быстро определить, какое из них больше.

Как это устроено

На числовой прямой из двух чисел больше то, которое расположено правее. Двигаясь вправо, мы каждый раз прибавляем положительную единицу, поэтому значение числа увеличивается. Это правило действует и для отрицательных чисел: −2 находится правее −5, значит, −2 > −5, хотя его модуль меньше.

Если оба числа положительные, сравнивают их модули: больше число с большим модулем, потому что оно удалено от нуля дальше вправо. Например, 8 > 3, так как |8| > |3|. Если оба числа отрицательные, направление меняется: дальше от нуля находится число левее, поэтому больше число с меньшим модулем, например −3 > −8.

Числа разных знаков сравнивают без вычисления модулей. Положительное число расположено справа от нуля, а отрицательное — слева, поэтому любое положительное число больше любого отрицательного. Например, ¼ > −100, даже несмотря на то, что модуль отрицательного числа намного больше.

Нуль расположен между отрицательными и положительными числами. Все отрицательные точки находятся левее нуля, а все положительные — правее. Поэтому −6 < 0 < 2, и для такого сравнения не требуется находить модули.

Дроби сравнивают теми же способами, что и целые числа. Если знаменатели разные, дроби можно привести к общему знаменателю, а затем сравнить числители; также можно представить числа на числовой прямой. Например, −¾ = −6/8 и −¼ = −2/8, поэтому −¾ < −¼, так как −6 < −2.

Как сравнивать рациональные числа

В таблице собраны основные случаи сравнения. Сначала определите знаки чисел, а затем примените подходящее правило и проверьте результат по числовой прямой.

Разбор задач

Сравните −3 и 2.

У чисел разные знаки, поэтому не нужно сравнивать их модули. Число −3 отрицательное, а 2 положительное, значит, первое находится слева от нуля, а второе — справа. Следовательно, положительное число больше отрицательного.

1. Определяем знаки чисел: −3 отрицательное, 2 положительное.
2. Применяем правило для чисел разных знаков: положительное число больше отрицательного.
3. Записываем знак сравнения слева направо.

Ответ: −3 < 2.

Сравните −5 и −8.

Оба числа отрицательные, поэтому сравниваем их модули и учитываем особое правило для отрицательных чисел. Модули равны 5 и 8, причём 5 меньше 8. Значит, −5 расположено правее −8 и является большим числом.

1. Находим модули: |−5| = 5, |−8| = 8.
2. Сравниваем модули: 5 < 8.
3. Для отрицательных чисел меньшее значение модуля даёт большее число.

Ответ: −5 > −8.

Расположите по возрастанию числа −¾, ½, −¼ и 0.

По возрастанию — значит от меньшего числа к большему. Сначала отделим отрицательные числа: они будут стоять перед нулём и положительной дробью. Для сравнения −¾ и −¼ приведём дроби к знаменателю 4: −¾ = −3/4, а −¼ = −1/4, поэтому −¾ меньше.

1. Отрицательные числа: −¾ и −¼; среди них −¾ < −¼.
2. Нуль больше любого отрицательного числа, поэтому −¼ < 0.
3. Положительное число ½ больше нуля.
4. Соединяем результаты в одну цепочку.

Ответ: −¾ < −¼ < 0 < ½.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль больше. Так происходит из-за привычки сравнивать только расстояние от нуля, но на прямой −8 находится левее −3. Проверьте себя: поставьте числа на прямую или измените порядок модулей.

Ошибка: сравнивать числа разных знаков только по модулям. Знак важнее величины модуля: любое положительное число находится правее любого отрицательного. Сначала определите знаки, и только при одинаковых знаках сравнивайте модули.

Ошибка: путать знак числа со знаком сравнения и неверно записывать результат. Например, минус в записи −4 относится к самому числу, а знак < или > показывает отношение двух чисел. Прочитайте готовую запись слева направо словами «меньше» или «больше».

Ошибка: считать нуль положительным или отрицательным числом. Нуль не имеет знака и расположен между двумя группами чисел. Для проверки вспомните цепочку: отрицательные числа < 0 < положительные числа.

Связь с другими темами

До сравнения рациональных чисел нужно знать, что такое рациональное число, модуль и противоположные числа. Также полезно уметь отмечать числа на числовой прямой, потому что её расположение объясняет все основные правила.

Сравнение понадобится при упорядочивании рациональных чисел и работе с неравенствами. Оно также используется при решении уравнений и задач, где встречаются отрицательные числа и дроби.

Что запомнить

• На числовой прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное рациональное число больше любого отрицательного.
• Нуль больше отрицательных чисел и меньше положительных.
• Из двух отрицательных чисел больше число с меньшим модулем.
• Противоположные числа равны по модулю, но имеют разные знаки.
• Знаки сравнения: a < b означает, что a меньше b; a > b — что a больше b.