7.2. Модуль рационального числа

Определения и обозначения

Модуль рационального числа — это расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой, до начала отсчёта, то есть до нуля. Его обозначают вертикальными чертами: |a| читают «модуль числа a». Например, |3| — расстояние от точки 3 до нуля. Такое обозначение удобно, когда нужно говорить о расстоянии, не учитывая, с какой стороны от нуля находится число.

Модуль положительного рационального числа равен самому числу. Например, |2,5| = 2,5: точка 2,5 находится справа от нуля на расстоянии 2,5 единицы. Знак числа при этом не меняется, потому что положительное число уже показывает величину расстояния. Это правило позволяет сразу находить модуль числа, если оно больше нуля.

Модуль отрицательного рационального числа равен противоположному ему числу. Например, числу −4/7 противоположно число 4/7, поэтому |−4/7| = 4/7. Точка −4/7 расположена слева от нуля, но расстояние до неё записывают положительным числом. Благодаря этому модуль отрицательного числа не становится отрицательным.

Модуль нуля равен нулю: |0| = 0. Точка с координатой 0 находится в самом начале отсчёта и не удалена от него. Поэтому расстояние от нуля до нуля равно нулю, а отдельного положительного или отрицательного числа для записи этого расстояния не требуется.

Как это устроено

На координатной прямой каждому рациональному числу соответствует точка, а расстояние между точками измеряют неотрицательным числом. Например, от нуля до точки 3 единицы, и от нуля до точки −3 тоже 3 единицы. Само число может быть отрицательным, если точка стоит слева от нуля, но длина отрезка отрицательной не бывает. Поэтому модуль отвечает не за положение точки, а за то, насколько далеко она от начала отсчёта.

Числа a и −a расположены по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Если a положительно, то точка a находится справа, а −a — слева; если a отрицательно, расположение меняется местами. В обоих случаях длины отрезков от этих точек до нуля равны, поэтому |a| = |−a|. Например, числа 6 и −6 имеют одинаковые модули, равные 6.

Чтобы найти модуль положительного числа, знак числа не меняют; чтобы найти модуль отрицательного, берут противоположное число. Это следует из того, как точки стоят относительно нуля: положительная точка уже находится справа, а отрицательную нужно заменить числом, которое показывает такую же длину справа. Так, |8| = 8, а |−8| = 8. Для нуля действует отдельный случай: его противоположное число — тоже ноль, поэтому |0| = 0.

Модуль рационального числа всегда неотрицателен независимо от знака самого числа. Если число положительное, его модуль положителен; если оно отрицательное, модуль равен положительному противоположному числу; если это ноль, модуль равен нулю. Значит, ни знак числа внутри черт, ни знак результата нельзя путать: результат показывает длину. Это можно использовать для проверки вычислений — отрицательный ответ при нахождении модуля указывает на ошибку.

Модуль помогает выразить расстояние между любыми двумя числами на прямой. Если координаты точек равны a и b, то расстояние между ними равно |a − b|: разность показывает, на сколько единиц числа отличаются, а модуль убирает возможный отрицательный знак. Например, при перестановке чисел разность меняет знак, но расстояние остаётся прежним. Поэтому также верно, что |a − b| = |b − a|.

Как находить модуль рационального числа

Сначала определи, где находится число: справа от нуля, в начале отсчёта или слева. Затем выбери соответствующую строку и запиши модуль по правилу из третьего столбца. Последняя строка напоминает, что ответ при любом числе не может быть отрицательным.

Разбор задач

Задача 1. Найти |−7/9|.

Нужно определить расстояние от числа −7/9 до нуля. Число отрицательное, поэтому его точка стоит слева от начала отсчёта. Расстояние будет положительным, а значит, при нахождении модуля нужно взять число, противоположное данному.

1. Определяем знак числа: −7/9 меньше нуля.
2. Находим противоположное число: для −7/9 это 7/9.
3. Записываем модуль: |−7/9| = 7/9.

Ответ: 7/9.

Задача 2. Вычислить |−2,4| + |3/5|.

В выражении стоят два модуля, поэтому сначала нужно отдельно определить каждый из них. Первое число отрицательное, значит, его модуль равен противоположному числу. Второе число положительное, поэтому его модуль не меняется; после этого можно сложить полученные значения.

1. Находим модуль отрицательного числа: |−2,4| = 2,4.
2. Находим модуль положительной дроби: |3/5| = 3/5 = 0,6.
3. Складываем результаты: 2,4 + 0,6 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3. На координатной прямой отмечены числа −1,7 и 2,3. Найти расстояние между соответствующими точками.

Одна точка находится слева от нуля, а другая — справа, поэтому расстояние между ними складывается из двух отрезков до нуля. Удобнее не считать эти отрезки отдельно, а воспользоваться формулой расстояния между числами: взять модуль их разности. Выберем порядок, указанный в условии идеи: из 2,3 вычтем −1,7.

1. Записываем формулу расстояния: |2,3 − (−1,7)|.
2. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением: |2,3 + 1,7|.
3. Вычисляем разность и модуль: |4| = 4.

Ответ: расстояние между точками равно 4 единицам.

Типичные ошибки

• Оставляют отрицательный знак перед модулем отрицательного числа, например пишут |−5| = −5. Так происходит, если смотреть только на знак числа и забыть, что модуль обозначает расстояние. Проверка простая: расстояние не может быть меньше нуля, поэтому такой ответ неверен. Нужно заменить отрицательное число противоположным.

• Считают, что модуль любого числа равен самому числу, и применяют правило |a| = a даже при a < 0. Правило подходит только для неотрицательных чисел, потому что у отрицательного числа точка расположена слева от нуля. Перед вычислением проверь знак числа. Если он отрицательный, найди противоположное число.

• Полагают, что |−a| = −|a|, то есть модули противоположных чисел имеют разные знаки. Ошибка возникает из-за того, что знак минус перед числом переносят за черты модуля, хотя модуль описывает длину. Точки a и −a удалены от нуля одинаково, поэтому их модули равны. Проверить это можно на примере: |−3| = |3| = 3.

• При нахождении расстояния между числами вычитают их в заданном порядке и записывают отрицательный результат как расстояние. Это происходит, когда разность принимают за ответ, не учитывая, что точки могли быть перечислены справа налево. Расстояние равно модулю разности, поэтому всегда неотрицательно. Например, вместо −4 нужно записать |−4| = 4.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно работать с модулем, нужно уметь отмечать рациональные числа на координатной прямой и находить число, противоположное данному. Эти умения показывают, где находится точка и какое расстояние отделяет её от нуля. Модуль пригодится при нахождении расстояний между точками и сравнении чисел на прямой. Позже он встретится в уравнениях и неравенствах, где требуется учитывать расстояние от числа до нуля.

Что запомнить

• Модуль числа — расстояние от него до нуля.
• Модуль обозначают вертикальными чертами: |a|.
• Модуль неотрицателен: |a| ≥ 0.
• Если a ≥ 0, то |a| = a.
• Если a < 0, то |a| = −a.
• |−a| = |a|.
• Расстояние между числами a и b равно |a − b|.