7.1. Отрицательные дроби. Рациональные числа

Определения и обозначения

Отрицательная дробь — дробь, значение которой меньше нуля. Знак минус можно поставить перед дробной чертой, у числителя или у знаменателя: −3/5 = (−3)/5 = 3/(−5). Это равносильные записи, то есть они обозначают одно и то же число. Такое правило помогает записывать дроби удобным способом и не путать знак числа с его числителем и знаменателем.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — целое число, не равное нулю. Например, 3/4, −5/2 и 7/1 — рациональные числа. Это определение объединяет дроби и целые числа в одну группу, с которой можно выполнять действия по общим правилам.

Множество рациональных чисел обозначают буквой ℚ. В него входят числа, которые можно записать дробью с целыми числителем и знаменателем, кроме дробей с нулевым знаменателем. Среди них есть положительные и отрицательные числа, ноль и все целые числа. Обозначение ℚ удобно, когда говорят сразу обо всей этой группе чисел.

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки: например, 4 и −4 или 7/12 и −7/12. Их сумма равна нулю, потому что одинаковые по величине части с разными знаками взаимно уничтожаются. Это понятие помогает находить число, которое отменяет действие другого при сложении.

Как это устроено

Знак дроби показывает, положительно или отрицательно её значение. Если минус стоит у числителя, то дробь отрицательна; перенести этот минус к знаменателю можно потому, что знак относится ко всей дроби, а не только к одному её числу. Поэтому (−a)/b и a/(−b) равны −a/b, если b не равно нулю. Если минусы стоят и у числителя, и у знаменателя, они сокращаются: (−a)/(−b) = a/b.

Дробь с целым числителем и целым ненулевым знаменателем задаёт рациональное число по самому определению. Целые числа тоже входят в это множество: любое целое a можно представить как a/1, ведь деление на единицу не меняет число. Например, −6 = −6/1. Поэтому при изучении рациональных чисел не нужно отделять целые числа от дробей.

Одно рациональное число может иметь несколько записей, потому что дробь можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число в числителе и знаменателе. Так, 1/2 = 2/4 = 5/10: во всех случаях отношение частей одинаково. Записи выглядят по-разному, но обозначают одну точку на числовой прямой. Это удобно, когда нужно подобрать общий знаменатель для сравнения или вычислений.

Координатная прямая помогает увидеть порядок чисел. Ноль служит границей: отрицательные числа находятся левее него, а положительные — правее; сам ноль не относится ни к положительным, ни к отрицательным. Чем дальше точка числа расположена вправо, тем больше это число. Поэтому противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него.

Сравнивая рациональные числа, можно смотреть, какое из них расположено правее. Например, −1/4 больше, чем −3/4: точка −1/4 ближе к нулю и находится правее. Это объясняет, почему отрицательные дроби нельзя сравнивать, забывая о знаке: у отрицательных чисел увеличение расстояния от нуля означает уменьшение числа. Если расположение неочевидно, дроби можно привести к общему знаменателю и затем проверить результат на прямой.

Запись рациональных чисел и их положение на координатной прямой

Сначала определите знак числа, а затем выберите его положение относительно нуля. Для целого числа, записанного дробью со знаменателем 1, положение не меняется: дробная запись обозначает то же число. Сравнивая несколько значений, располагайте их слева направо — порядок на прямой будет порядком возрастания.

Разбор задач

1. Запишите 5/−8 со знаком минус перед дробной чертой и укажите равную дробь со знаменателем 16

Знак минус у знаменателя можно перенести перед всей дробью, поэтому 5/−8 = −5/8. Чтобы получить знаменатель 16, нужно увеличить знаменатель в 2 раза. Числитель тоже умножаем на 2, иначе значение дроби изменится.

1. Переносим знак: 5/−8 = −5/8.
2. Находим множитель: 16 : 8 = 2.
3. Умножаем числитель и знаменатель на 2: −5/8 = (−5 · 2)/(8 · 2) = −10/16.

Ответ: 5/−8 = −5/8 = −10/16.

2. Расположите −3/4, 1/2, −1/4 и 0 в порядке возрастания

Нужно расположить числа от меньшего к большему, то есть от левого края к правому на координатной прямой. Положительное число 1/2 находится правее нуля, а отрицательные дроби — левее. Чтобы сравнить отрицательные дроби, удобно записать их с одинаковыми знаменателями: −1/4 ближе к нулю, чем −3/4, значит, оно больше.

1. Приводим 1/2 к знаменателю 4: 1/2 = 2/4.
2. Сравниваем числа: −3/4 левее −1/4, затем идёт 0, а число 2/4 расположено правее нуля.
3. Записываем числа в найденном порядке.

Ответ: −3/4, −1/4, 0, 1/2.

3. Найдите число, противоположное −7/12, и представьте оба числа дробями со знаменателем 36

Противоположное число должно иметь тот же модуль, но другой знак. Значит, числу −7/12 противоположно 7/12. Чтобы получить знаменатель 36, умножаем числитель и знаменатель обеих дробей на 3; знаки при этом сохраняются.

1. Меняем знак исходного числа: противоположное к −7/12 — это 7/12.
2. Находим множитель: 36 : 12 = 3.
3. Преобразуем дроби: −7/12 = −21/36, а 7/12 = 21/36.
4. Проверяем: модули равны, знаки разные, поэтому сумма чисел равна нулю.

Ответ: противоположное число — 7/12; дроби со знаменателем 36: −21/36 и 21/36.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что минус перед дробью и минус у знаменателя задают разные числа. Так бывает, если знак мысленно связывают только со знаменателем, хотя он относится ко всей дроби. Проверьте равенство переносом знака: 3/−5 = −3/5. Если значения совпадают, это разные записи одного числа.

Ошибка: считать дробь с двумя минусами отрицательной. Ученик может заметить минус в знаменателе и не учесть минус в числителе, хотя два знака при делении дают плюс. Например, (−2)/(−3) = 2/3. Для проверки отдельно посчитайте знаки: одинаковые знаки дают положительное значение.

Ошибка: разрешать знаменателю быть равным нулю. Иногда ноль воспринимают как обычное число для записи дроби, но деление на ноль не определено. Поэтому выражение 5/0 не является рациональным числом. Проверяйте знаменатель до любых преобразований: он должен быть ненулевым.

Ошибка: сравнивать отрицательные дроби как положительные, не учитывая направление на прямой. Например, из того, что 3/4 больше 1/4, нельзя заключить, что −3/4 больше −1/4. На прямой −3/4 расположено левее, значит, оно меньше. Проверка: приведите дроби к общему знаменателю или отметьте, какое число ближе к нулю.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными дробями нужны знания об обыкновенных дробях, целых числах, знаках чисел и координатной прямой. Если ученик умеет находить равные дроби и отмечать числа на прямой, ему легче понять перенос знака и сравнение отрицательных значений. Рациональные числа объединяют изученные ранее целые числа и дроби. Дальше эти знания пригодятся при действиях с дробями и отрицательными числами, а также при решении уравнений и неравенств.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
• Знаменатель рациональной дроби не может быть нулём.
• Минус можно записывать перед дробью, у числителя или у знаменателя.
• Две отрицательные части знака дают положительное число.
• Любое целое число является рациональным.
• На координатной прямой больше число, расположенное правее.