6.8. Вычисления с целыми числами

Определения и обозначения

Целое число — это натуральное число, противоположное ему число или ноль. Например, числа 1, 2 и 3 натуральные, а −1, −2 и −3 противоположны им; вместе с нулём они составляют множество целых чисел. Поэтому целые числа могут быть положительными, отрицательными или не иметь знака. Они нужны, когда величина бывает не только больше нуля, но и меньше него.

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки: например, 5 и −5. Их сумма равна нулю: 5 + (−5) = 0, потому что одинаковые расстояния по разные стороны от нуля взаимно сокращаются. У нуля противоположное число — он сам. Это понятие помогает заменять вычитание сложением и проверять вычисления.

Модуль целого числа — расстояние от соответствующей ему точки числовой прямой до нуля. Его обозначают вертикальными чертами: |a|; например, |−4| = 4 и |4| = 4. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому модуль всегда равен нулю или положительному числу. По модулю удобно сравнивать, насколько далеко числа находятся от нуля.

Сумма, разность и произведение целых чисел — результаты сложения, вычитания и умножения. Например, в записи a − b разность можно представить как сумму a и числа, противоположного b: a − b = a + (−b). Такая запись особенно полезна, когда вычитаемое отрицательное: знак действия меняется на сложение, а само число — на противоположное. Знак и модуль результата затем находят по правилам соответствующего действия.

Как это устроено

Числовая прямая позволяет сравнивать целые числа по их расположению: чем правее точка, тем больше число. Например, −2 больше, чем −6, хотя 2 меньше 6: точка −2 расположена правее точки −6. Это объясняется тем, что отрицательные числа отсчитываются влево от нуля, и число ближе к нулю оказывается больше. Такое представление помогает не путать знак числа с его величиной.

Когда складывают числа одного знака, их расстояния от нуля увеличиваются в одном направлении. Например, −3 + (−4) означает пройти влево сначала на 3 единицы, затем ещё на 4, поэтому получится −7. Значит, модули складывают, а знак сохраняют общим для обоих слагаемых. То же рассуждение работает для положительных чисел, только движение идёт вправо.

При сложении чисел разных знаков движения направлены в противоположные стороны. Часть пути влево и часть пути вправо взаимно компенсируются, поэтому остаётся разность модулей: из большего вычитают меньший. Направление оставшегося движения задаёт число с большим модулем, значит, его знак и будет знаком суммы. Если модули равны, пути полностью сокращаются и получается ноль.

Вычитание целого числа заменяют сложением противоположного: a − b = a + (−b). Это правило следует из смысла вычитания: вычесть число — значит прибавить число, которое компенсирует его действие. Поэтому при вычитании положительного числа прибавляют отрицательное, а при вычитании отрицательного — положительное. Например, −5 − (−2) превращается в −5 + 2: числа движутся навстречу, и остаётся −3.

При умножении знак показывает направление результата, а модуль — его величину. Умножение на положительное число повторяет направление множителя, а умножение на отрицательное меняет его на противоположное. Поэтому два одинаковых знака дают положительный результат, а два разных — отрицательный; модуль произведения равен произведению модулей множителей. Например, (−3) · 4 = −12, а (−3) · (−4) = 12.

Правила вычислений с целыми числами

Сначала найди строку с нужным действием, а затем проверь знаки чисел. Для сложения важно выяснить, одинаковые они или разные; для вычитания сначала замени действие сложением противоположного числа. После этого отдельно определи модуль результата и его знак.

Разбор задач

Вычислите −8 + (−5). Оба слагаемых отрицательные, значит, складываем их модули и сохраняем общий знак. Такое решение соответствует движению в одну сторону: обе части суммы уводят влево от нуля. Запишем вычисления по шагам.

1. Найдём модули: |−8| = 8 и |−5| = 5.
2. Сложим модули: 8 + 5 = 13.
3. Поставим общий знак «минус»: −13.

Ответ: −13. Проверка на числовой прямой показывает, что от −8 нужно пройти ещё 5 единиц влево. Полученная точка соответствует числу −13.

Вычислите −13 + 7 − (−4). Здесь есть вычитание отрицательного числа, поэтому сначала заменим его сложением противоположного. Затем будем действовать слева направо и для каждой суммы отдельно сравнивать модули. Так не придётся пытаться применить одно правило сразу ко всему выражению.

1. Заменим вычитание: −13 + 7 − (−4) = −13 + 7 + 4.
2. Вычислим первые два слагаемых: модули 13 и 7, их разность равна 6; больший модуль у числа −13, значит, −13 + 7 = −6.
3. Сложим −6 и 4: вычтем меньший модуль из большего, 6 − 4 = 2, и сохраним знак числа с большим модулем. Получим −2.

Ответ: −2. Отрицательное слагаемое по модулю сильнее двух положительных чисел вместе. Поэтому итог закономерно остаётся отрицательным.

Вычислите −6 · (−3) + 24 : (−4) − (−5). Сначала выполним умножение и деление, так как они предшествуют сложению и вычитанию. Знак каждого результата определим отдельно, а последнее вычитание отрицательного числа заменим сложением. После этого останется вычислить сумму слева направо.

1. Выполним умножение: −6 · (−3) = 18, поскольку знаки одинаковые, а 6 · 3 = 18.
2. Выполним деление: 24 : (−4) = −6, поскольку знаки разные, а 24 : 4 = 6.
3. Заменим вычитание отрицательного числа: 18 + (−6) − (−5) = 18 + (−6) + 5.
4. Сложим первые два числа: 18 + (−6) = 12. Затем найдём 12 + 5 = 17.

Ответ: 17. Важно не выполнять сложение раньше умножения и деления. Проверка знаков показывает, что первые два действия дают положительное 18 и отрицательное −6, а последнее слагаемое после замены становится положительным.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, как будто знаки одинаковые. Так получается, например, ошибочное значение −13 для суммы −8 + 5 вместо правильного −3. Ошибку допускают, если замечают числа, но не учитывают встречные направления на прямой. Перед вычислением проверь знаки: если они разные, нужно вычитать меньший модуль из большего.

Знак суммы с разными знаками выбирают по числу, которое кажется большим по записи, а не по его модулю. Например, в сумме −9 + 4 решает модуль 9, поэтому ответ отрицательный, хотя число 4 положительное. Путаница возникает из-за сравнения самих чисел и расстояний до нуля как будто это одно и то же. Сравни модули отдельно и поставь знак числа, которое дальше от нуля.

При вычитании отрицательного числа иногда оставляют знак минус и получают неверный результат. Например, 3 − (−2) ошибочно считают как 3 − 2, хотя нужно получить 3 + 2. Скобки показывают, что вычитают именно отрицательное число, поэтому полезно каждый раз записывать замену a − b = a + (−b). После замены проверь, что изменились и действие, и знак вычитаемого.

При умножении можно забыть, что знак произведения зависит от знаков множителей, а не только от их модулей. Из-за этого, например, −4 · 3 иногда ошибочно записывают как 12 вместо −12. Перед умножением отдельно поставь знак: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус, а затем умножь модули. Для нескольких множителей проверь чётность количества отрицательных чисел.

Связь с другими темами

Перед вычислениями с целыми числами нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа: эти действия применяются к модулям. Также нужно понимать модуль как расстояние на числовой прямой, чтобы верно сравнивать отрицательные числа и находить знак суммы. Навык пригодится при работе с координатами точек: координата может быть и положительной, и отрицательной. Целые числа используют и для описания изменений величин, например повышения или понижения температуры, а также при решении уравнений, где неизвестное может оказаться отрицательным.

Что запомнить

• Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, сложи их модули и сохрани знак.
• Чтобы сложить числа с разными знаками, вычти меньший модуль из большего и возьми знак числа с большим модулем.
• Вычитание числа заменяется сложением противоположного ему числа.
• При умножении одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
• Порядок выполнения действий в выражениях с целыми числами сохраняется.