6.7. Деление целых чисел

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят. В записи a : b делимое обозначено буквой a и показывает, сколько или что нужно разделить. Например, в выражении 18 : 3 делимое — 18.

Делитель — число, на которое делят. В записи a : b это число b: оно показывает, на сколько равных частей делят делимое или во сколько раз его уменьшают. Делитель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено.

Частное — результат деления. Оно показывает, какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое. Частное целых чисел не всегда целое: например, 5 : 2 = 2,5.

Деление целых чисел — действие, обратное умножению: a : b = c, если b · c = a. Это значит, что деление помогает найти неизвестный множитель, когда произведение и другой множитель уже известны. Такое понимание позволяет проверять вычисления умножением.

Как это устроено

Знак частного зависит от знаков обоих чисел. Если делимое и делитель одного знака, частное положительное: два плюса дают плюс, как и два минуса. Если знаки разные, частное отрицательное. Например, 12 : 3 = 4, а 12 : (−3) = −4.

Правило для разных знаков следует из связи деления с умножением. Чтобы найти 12 : (−3), нужно подобрать число c, для которого (−3) · c = 12. Подходит −4, потому что (−3) · (−4) = 12. Поэтому 12 : (−3) = −4; так же (−12) : 3 = −4, ведь 3 · (−4) = −12.

Чтобы вычислить частное, сначала раздели модули делимого и делителя, а затем поставь знак по правилу. Модуль — это расстояние числа от нуля, поэтому он не бывает отрицательным. Например, |−24| : |6| = 4; у исходных чисел разные знаки, значит, ответ равен −4. Такой порядок помогает не путать вычисление величины частного с выбором его знака.

Если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, частное равно нулю: 0 : 5 = 0 и 0 : (−5) = 0. Проверка умножением это подтверждает: 5 · 0 = 0. Делить на ноль невозможно: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое, а для 0 : 0 подошло бы любое число, поэтому единственного частного нет.

Полученное частное будет целым числом не при каждом делении целых чисел. Оно целое, если делимое делится на делитель без остатка: например, 15 : 3 = 5. Если такого целого результата нет, частное относится уже не к целым числам: 5 : 2 = 2,5. Поэтому перед ответом проверь, требует ли задача именно целого числа и делится ли делимое нацело.

Правила деления целых чисел

Сначала найди в таблице строку, которая подходит к знакам делимого и делителя, затем определи знак ответа. После этого раздели модули чисел, если делитель не равен нулю. Последняя строка означает, что вычислять частное нельзя.

Разбор задач

Вычислите: (−24) : 6.

Здесь делимое отрицательное, а делитель положительный, значит, знаки разные и частное будет отрицательным. Чтобы найти его модуль, разделим модули чисел: 24 : 6 = 4. Затем поставим найденный знак перед результатом.

1. Определяем знак: у −24 и 6 знаки разные, значит, частное отрицательное.
2. Делим модули: |−24| : |6| = 24 : 6 = 4.
3. Записываем результат: (−24) : 6 = −4.

Ответ: −4. Проверим умножением: 6 · (−4) = −24, то есть получили исходное делимое. Проверка подтверждает и значение, и знак частного.

Вычислите: (−72) : (−8) + 15 : (−3).

В выражении два деления, поэтому сначала вычислим каждое отдельно. В первом делении знаки одинаковые, следовательно, частное положительное; во втором знаки разные, поэтому частное отрицательное. Только после этого сложим полученные числа.

1. Вычисляем первое частное: (−72) : (−8) = 72 : 8 = 9.
2. Вычисляем второе частное: 15 : (−3) = −(15 : 3) = −5.
3. Складываем: 9 + (−5) = 9 − 5 = 4.

Ответ: 4. Знак первого частного положительный, так как оба числа отрицательные; знак второго отрицательный, так как числа разных знаков. При сложении положительного и отрицательного числа вычитаем меньший модуль из большего и сохраняем знак числа с большим модулем.

Найдите целое число x, если (−7) · x = 56.

Нужно найти неизвестный множитель x. Умножение и деление — обратные действия, поэтому разделим произведение 56 на известный множитель −7. Поскольку числа имеют разные знаки, частное будет отрицательным.

1. Записываем обратное действие: x = 56 : (−7).
2. Делим модули и определяем знак: 56 : 7 = 8, знаки разные, значит, x = −8.
3. Проверяем подстановкой: (−7) · (−8) = 56.

Ответ: x = −8. При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому проверка даёт 56. Значение найдено и подходит условию уравнения.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что частное чисел с разными знаками положительно. Это случается, когда ученик замечает минус только у одного числа или переносит правило сложения на деление. Проверь знаки обоих чисел: разные знаки дают отрицательное частное. Например, (−12) : 3 = −4, потому что 3 · (−4) = −12.

Ошибка: считать, что деление двух отрицательных чисел даёт отрицательный ответ. Минусы здесь относятся к обоим числам, поэтому знаки одинаковые, а частное положительное. Проверь умножением: (−3) · 4 = −12, значит, (−12) : (−3) = 4. Такое действие помогает заметить ошибку в знаке.

Ошибка: записывать целое частное, не проверив деление нацело. Иногда ожидают, что деление двух целых чисел обязательно даст целое, но 5 : 2 = 2,5. Раздели числа и проверь, остаётся ли дробная часть; если остаётся, результат не целый. Не округляй его, если условие требует точного ответа.

Ошибка: считать, что 0 : 0 = 0. Ноль действительно делится на ненулевое число, но при делителе 0 правило не работает: любое число при умножении на 0 даст 0, поэтому нельзя выбрать единственное частное. Проверь, не равен ли делитель нулю, прежде чем выполнять деление. В частности, выражение 0 : 0 не определено.

Связь с другими темами

Для деления целых чисел нужно уметь делить натуральные числа и находить модуль целого числа. Сначала делят модули, а уже затем выбирают знак частного. Если забыть одно из этих умений, можно ошибиться в величине или знаке ответа.

Правила умножения целых чисел помогают понять деление и проверить результат. Частное должно при умножении на делитель давать делимое, поэтому проверка возвращает к исходному выражению. Этот способ особенно полезен, когда нужно проверить знак.

Деление пригодится при решении уравнений, где неизвестен один из множителей. Кроме того, не каждое частное целых чисел остаётся целым: такие случаи подводят к рациональным числам, среди которых есть дроби. Поэтому важно отличать целочисленное частное от результата деления вообще.

Что запомнить

• Деление — действие, обратное умножению.
• Делитель не может быть равен нулю.
• Частное чисел с одинаковыми знаками положительно.
• Частное чисел с разными знаками отрицательно.
• Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
• Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• Целое частное получается не при каждом делении целых чисел.