6.6. Умножение целых чисел

Определения и обозначения

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль. К ним относятся числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Это множество нужно, чтобы работать не только с количеством предметов, но и с долгами, температурами ниже нуля и движением в разные стороны.

Числа, которые перемножают, называются множителями. Например, в записи (−5) · 4 числа −5 и 4 — множители. Это слово помогает различать числа, участвующие в умножении, особенно когда множителей становится несколько.

Результат умножения называется произведением. В выражении 6 · (−7) произведением является число −42. Понимание этого термина нужно, чтобы точно описывать действие и его результат в решениях.

Правило знаков говорит: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными знаками — отрицательно. Поэтому (−3) · (−8) = 24, а (−3) · 8 = −24. Сначала удобно определить знак, а потом выполнить умножение модулей.

Как это устроено

Умножение целых чисел сводится к умножению натуральных чисел по модулям. Модуль показывает расстояние числа от нуля и не учитывает его знак, поэтому |−6| = 6. Для любых целых a и b выполняется равенство |a · b| = |a| · |b|: сначала можно получить величину результата, а знак определить отдельно.

Положительный результат при умножении двух отрицательных чисел можно увидеть в закономерности. Например, произведения 3 · (−4) = −12, 2 · (−4) = −8, 1 · (−4) = −4, 0 · (−4) = 0 при увеличении первого множителя на единицу увеличиваются на 4. Продолжая ряд, получаем (−1) · (−4) = 4: иначе последовательность перестала бы изменяться по тому же правилу.

Знак произведения разных знаков также связан с распределительным свойством. Так как 0 = 5 + (−5), после умножения на 3 получаем 0 = 3 · 5 + 3 · (−5), значит 0 = 15 + 3 · (−5), и второй результат равен −15. Поэтому положительное число, умноженное на отрицательное, даёт отрицательное число, а перемена порядка множителей ничего не меняет.

Нуль и единица имеют особые свойства. При умножении на нуль получается нуль: a · 0 = 0, потому что нуль означает отсутствие одинаковых слагаемых. При умножении на 1 число сохраняется, а при умножении на −1 меняется на противоположное: 7 · (−1) = −7 и (−7) · (−1) = 7.

В произведении нескольких целых чисел можно использовать переместительное свойство: a · b = b · a, и сочетательное свойство: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому множители можно переставить и объединить в удобные пары, например (−2) · 5 · (−3) = ((−2) · (−3)) · 5. Сначала удобно сгруппировать отрицательные множители, а затем перемножить получившиеся числа.

Знак и модуль произведения целых чисел

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала сравните знаки множителей. Затем перемножьте их модули и поставьте найденный знак перед результатом. Если есть нуль, вычисления можно сразу остановить: всё произведение равно нулю.

Разбор задач

1. Вычислить: (−7) · 6.

Множители имеют разные знаки, поэтому результат будет отрицательным. Для нахождения его величины перемножим модули чисел. После этого соединим знак и полученное число.

1. Определяем знак: «минус» и «плюс» дают отрицательный результат.
2. Находим модули: |−7| · |6| = 7 · 6 = 42.
3. Ставим знак перед модулем произведения: (−7) · 6 = −42.

Ответ: −42.

2. Вычислить: (−4) · (−9) · 2.

Здесь два отрицательных множителя, поэтому знак всего произведения положительный. Модули можно перемножить в удобном порядке, например сначала найти произведение 4 и 9. Затем результат умножается на модуль третьего множителя.

1. Считаем отрицательные множители: их два, значит знак положительный.
2. Группируем модули: (−4) · (−9) · 2 = (4 · 9) · 2.
3. Вычисляем: 4 · 9 · 2 = 36 · 2 = 72.

Ответ: 72.

3. Температура была −3 °C и каждый час в течение 5 часов снижалась на 2 °C. Какой стала температура?

Снижение температуры на 2 °C обозначим числом −2. За пять часов общее изменение равно произведению (−2) · 5, а конечную температуру найдём сложением с начальной. Такой способ учитывает и направление изменения, и его повторение.

1. Находим изменение за 5 часов: (−2) · 5 = −10 °C.
2. Прибавляем изменение к начальной температуре: −3 + (−10) = −13 °C.
3. Проверяем смысл: температура понижалась, поэтому итог должен быть ниже −3 °C.

Ответ: −13 °C.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что произведение двух отрицательных чисел отрицательно. Так делают, потому что видят два знака «минус» и переносят привычное правило сложения. Проверьте себя по правилу знаков: одинаковые знаки дают плюс, поэтому (−2) · (−3) = 6.

Ошибка: забывать минус при умножении чисел разных знаков. Обычно сначала считают модули и не возвращаются к знаку. Сначала запишите знак результата, а затем вычислите модули: (−5) · 4 = −(5 · 4) = −20.

Ошибка: приписывать нулю знак второго множителя. Это происходит, если механически копируют знак, не учитывая особое свойство нуля. Подставьте нуль в правило a · 0 = 0: например, (−9) · 0 = 0.

Ошибка: перемножать знаки и модули без скобок и нарушать порядок действий. При нескольких множителях можно потерять знак отдельного числа или неправильно сгруппировать выражение. Перепишите множители со скобками, определите число отрицательных множителей и только потом считайте.

Связь с другими темами

Перед изучением умножения целых чисел нужно уметь находить модуль и противоположное число, а также перемножать натуральные числа. Модуль помогает вычислить величину результата, противоположное число — понять действие знака, а натуральное умножение — быстро получить числовую часть произведения.

Эти правила используются при вычислении значений выражений и решении уравнений. Они также нужны в задачах с координатами, температурами и изменениями величин, где знак показывает направление или повышение и понижение.

Что запомнить

• Модуль произведения равен произведению модулей множителей.
• Множители с одинаковыми знаками дают положительное произведение.
• Множители с разными знаками дают отрицательное произведение.
• Если хотя бы один множитель равен нулю, произведение равно нулю.
• Произведение числа на 1 равно этому числу, а на −1 — противоположному ему.
• При умножении нескольких целых чисел знак зависит от числа отрицательных множителей.