6.5. Вычитание целых чисел

Определения и обозначения

Вычитание целых чисел — действие, при котором к уменьшаемому прибавляют число, противоположное вычитаемому. Например, вместо 8 − 5 можно записать 8 + (−5). Такая замена нужна, чтобы выполнять вычитание по уже знакомым правилам сложения целых чисел.

Противоположные числа — целые числа, сумма которых равна нулю. У них одинаковые модули, но разные знаки: например, 6 и −6; число 0 противоположно самому себе. Понятие противоположных чисел помогает понять, какое число нужно прибавить вместо вычитаемого.

Разность целых чисел — результат вычитания. Её можно представить как сумму уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Это представление позволяет вычислять разности с положительными и отрицательными числами одним способом.

Как это устроено

Вычитание заменяют сложением, потому что для любых целых a и b выполняется равенство a − b = a + (−b). Прибавление числа, противоположного вычитаемому, как раз учитывает, в какую сторону и на сколько нужно изменить уменьшаемое. После замены не требуется отдельное правило для каждого сочетания знаков: достаточно знать, как складывать целые числа. Поэтому перед вычислением полезно сначала переписать выражение как сумму.

Если вычитаемое положительное, при замене оно становится отрицательным: 5 − 3 = 5 + (−3). На числовой прямой прибавление отрицательного числа означает движение влево, поэтому значение уменьшается. В примере от 5 отступаем на 3 единицы и получаем 2. Знак меняется у числа после знака вычитания, а не у уменьшаемого.

Если вычитаемое отрицательное, противоположным ему будет положительное число: 5 − (−3) = 5 + 3. Два знака здесь не означают, что надо ещё раз вычитать: мы заменяем всё вычитаемое числом, противоположным ему. На числовой прямой прибавление 3 означает движение вправо, поэтому значение увеличивается. Скобки помогают увидеть, что вычитается именно отрицательное число.

Когда уменьшаемое отрицательное, правило остаётся таким же: сначала заменяем вычитание сложением противоположного вычитаемому числа. Например, −7 − 4 превращается в −7 + (−4), а −7 − (−4) — в −7 + 4. Затем применяем правила сложения: для одинаковых знаков складываем модули и сохраняем знак, для разных вычитаем меньший модуль из большего. При разных знаках результат получает знак числа с большим модулем.

Результат можно проверить обратным действием. Если разность равна r, то к ней нужно прибавить вычитаемое b: должно получиться уменьшаемое a, то есть r + b = a. Например, для 8 − 13 = −5 проверка выглядит так: −5 + 13 = 8. Если сумма не совпала с уменьшаемым, значит, в вычислении или знаке допущена ошибка.

Вычитание целых чисел как сложение

Сначала найди вычитаемое и замени его противоположным числом, сохраняя уменьшаемое. Если вычитаемое отрицательное, его противоположное будет положительным; ноль при замене не меняется. Затем сложи полученные числа по правилам сложения целых чисел.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 8 − 13. Вычитаемое 13 положительное, поэтому при замене вычитания сложением оно станет отрицательным. Получится сумма чисел с разными знаками, и для неё нужно сравнить модули. Такой порядок действий помогает не перепутать знак вычитаемого с исходным знаком уменьшаемого.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного числа: 8 − 13 = 8 + (−13).
2. Сравниваем модули: 13 больше 8, значит, из большего модуля вычитаем меньший: 13 − 8 = 5.
3. Ставим знак числа с большим модулем. Это число −13, поэтому результат отрицательный: 8 + (−13) = −5.

Ответ: −5. Проверим: к разности прибавляем вычитаемое и получаем −5 + 13 = 8. Получилось исходное уменьшаемое, значит, вычисление верно.

Задача 2. Вычислите −7 − (−12). Здесь уменьшаемое отрицательное, а вычитаемое тоже отрицательное. Его противоположное число — 12, поэтому действие превратится в сложение −7 и 12. У этих чисел разные знаки, а больший модуль у положительного числа 12.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного вычитаемому: −7 − (−12) = −7 + 12.
2. Вычитаем меньший модуль из большего: 12 − 7 = 5.
3. Сохраняем знак числа с большим модулем. У числа 12 знак положительный, значит, сумма равна 5.

Ответ: 5. Проверка: 5 + (−12) = −7. Получили исходное уменьшаемое, следовательно, разность найдена правильно.

Задача 3. Найдите x, если x − (−9) = −2. Сначала заменим вычитание отрицательного числа сложением: неизвестное станет слагаемым в сумме с 9. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычтем известное слагаемое. Затем проверим найденное значение подстановкой в исходное равенство.

1. Переписываем уравнение: x − (−9) = −2, значит, x + 9 = −2.
2. Вычитаем 9 из обеих частей равенства: x = −2 − 9.
3. Заменяем вычитание сложением: x = −2 + (−9) = −11.
4. Проверяем подстановкой: −11 − (−9) = −11 + 9 = −2.

Ответ: x = −11. Подстановка дала правую часть исходного уравнения, поэтому значение неизвестного подходит.

Типичные ошибки

Иногда меняют знак уменьшаемого вместо вычитаемого. Так происходит, если знак минус воспринимают как команду изменить первое число, хотя в записи a − b противоположным становится именно b. Например, 8 − 13 превращается в 8 + (−13), а не в −8 + 13. Проверяй себя: первое число должно остаться без изменений при замене вычитания сложением.

Другая ошибка — считать, что минус перед отрицательным числом оставляет его отрицательным. При вычитании нужно прибавить число, противоположное вычитаемому, поэтому −(−6) соответствует +6. Часто сбивает с толку запись с двумя знаками подряд. Перед вычислением поставь вычитаемое в скобки и назови число, противоположное ему.

Если убрать скобки, не учитывая знак числа, можно ошибочно превратить 4 − (−6) в 4 − 6. На деле противоположное числу −6 — это 6, значит, 4 − (−6) = 4 + 6. Ошибка появляется, когда скобки снимают механически, не заменив вычитаемое противоположным. Запиши сначала действие сложения и только потом считай.

После замены вычитания сложением можно неверно сложить числа с разными знаками: например, сложить их модули или выбрать знак наугад. Нужно вычесть меньший модуль из большего и сохранить знак числа с большим модулем. Ошибка возникает, если смотреть только на знаки и не сравнивать модули. Проверь модуль каждого слагаемого и затем выполни обратную проверку: разность плюс вычитаемое должна дать уменьшаемое.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно вычитать целые числа, нужно знать, какие числа называются целыми, уметь находить противоположное число и понимать модуль — расстояние числа от нуля на числовой прямой. Также пригодятся правила сложения целых чисел, ведь любое вычитание мы сначала заменяем сложением. Без этих знаний легко ошибиться в знаке или при вычислении суммы.

Вычитание используется при решении уравнений: оно помогает находить неизвестное слагаемое и выполнять обратные действия. Навык также понадобится при действиях с рациональными числами — числами, которые можно записать в виде дроби. Правило замены вычитания сложением сохраняется и для них, поэтому освоенная запись a − b = a + (−b) пригодится дальше.

Что запомнить

• Вычитание целых чисел заменяется сложением.
• a − b = a + (−b).
• Знак меняют у вычитаемого, а не у уменьшаемого.
• Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного.
• Чтобы вычесть ноль, число оставляют без изменения.
• Разность можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому.