§ 3. Деление целых чисел

Определения и обозначения

Деление целых чисел — операция нахождения частного, связанного с равенством делимого и произведения частного на делитель. Запись a : b = c означает, что a = b · c. Эта связь позволяет понять смысл деления и проверять вычисления умножением.

Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. В записи 24 : 6 число 24 — делимое, а 6 — делитель. Делитель не может быть нулём, потому что умножение любого числа на ноль даёт только ноль.

Частное — результат деления, например в записи 24 : 6 = 4 частное равно 4. При точном делении целых чисел частное тоже является целым числом. Это понятие нужно, чтобы назвать результат и затем проверить его умножением на делитель.

Правило знаков при делении — правило определения знака частного по знакам делимого и делителя. Оно позволяет заранее понять, будет результат положительным или отрицательным. После этого остаётся разделить модули чисел, то есть их расстояния от нуля.

Как это устроено

Деление связано с умножением как обратная ему операция: a : b = c тогда и только тогда, когда a = b · c, если b ≠ 0. Например, чтобы найти 24 : 6, нужно понять, какое число при умножении на 6 даст 24. Ответ 4 подходит, потому что 6 · 4 = 24. Связь с умножением объясняет, как проверять деление и решать уравнения, где неизвестно делимое.

При вычислении сначала находят частное модулей, а затем ставят знак. Модуль показывает, сколько единиц отделяет число от нуля, поэтому при делении он помогает определить размер результата без учёта направления. Например, у чисел −36 и 6 модули равны 36 и 6, а 36 : 6 = 6. После этого знак выбирают по знакам исходных чисел.

Если делимое и делитель одного знака, частное положительно; если знаки разные — отрицательно. Причину можно увидеть из проверки умножением: произведение двух чисел одинаковых знаков положительно, а чисел разных знаков — отрицательно. Частное должно иметь такой знак, чтобы при умножении на делитель получилось исходное делимое. Поэтому (−20) : (−5) = 4, а 20 : (−5) = −4.

Ноль, разделённый на ненулевое число, даёт ноль: 0 : 5 = 0, потому что 5 · 0 = 0. Делить на ноль нельзя: не существует такого числа, произведение которого на ноль дало бы ненулевое делимое. Запись 0 : 0 также не задаёт единственного ответа, ведь любое число при умножении на ноль даёт ноль. Поэтому делитель в частном всегда должен быть отличен от нуля.

Проверка деления состоит в умножении частного на делитель: результат должен совпасть с делимым. Например, для −18 : 3 = −6 проверка выглядит так: −6 · 3 = −18. Ещё до вычислений можно оценить знак ответа по знакам чисел. Если проверка не даёт исходного делимого, нужно перепроверить и деление модулей, и знак частного.

Знаки и особые случаи при делении целых чисел

Сначала найди в таблице строку, которая подходит к знакам делимого и делителя. Затем воспользуйся указанием о знаке частного и отдельно учти особые случаи с нулём. После этого раздели модули и проверь результат умножением.

Разбор задач

Вычислите: −36 : 6. Здесь делимое отрицательное, а делитель положительный, поэтому знаки разные. Сначала найдём величину частного, а затем поставим знак; в конце проверим ответ умножением.

1. Разделим модули: 36 : 6 = 6.
2. Знаки чисел разные, значит, частное отрицательное.
3. Получаем −6; проверка: −6 · 6 = −36.

Ответ: −6. Проверка совпала с делимым, значит, вычисление выполнено верно.

Решите уравнение: x : (−8) = 7. Неизвестное x здесь является делимым, а частное равно 7. Чтобы выразить делимое, используем связь деления с умножением: делимое равно частному, умноженному на делитель.

1. Перепишем уравнение в виде x = 7 · (−8).
2. Вычислим произведение: 7 · (−8) = −56.
3. Проверим: −56 : (−8) = 7, значит, найденное число подходит.

Ответ: x = −56. Проверка показывает, что при делении найденного делимого на −8 получается заданное частное.

Вычислите: (−144 : 12 − 18 : (−3)) : (−2). Сначала выполняем деления в скобках, затем вычитание, после этого делим результат скобок на −2. Разберём знаки каждого частного отдельно, чтобы не перепутать их при вычислениях.

1. В скобках: −144 : 12 = −12, так как знаки разные.
2. 18 : (−3) = −6, так как знаки тоже разные.
3. Вычитаем: −12 − (−6) = −12 + 6 = −6.
4. Делим: −6 : (−2) = 3, так как знаки одинаковые.
5. Проверка последнего деления: 3 · (−2) = −6, то есть значение скобок.

Ответ: 3. Порядок действий соблюдён: деления выполнены до вычитания, а деление результата скобок — после него.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что отрицательное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательный результат. Так происходит, если перенести на деление правило знаков при сложении. Проверь себя умножением: положительное частное на отрицательный делитель даёт отрицательное число, поэтому для отрицательного делимого частное должно быть положительным.

Ошибка: разделить модули и забыть поставить знак частного. Эту ошибку допускают, когда считают, что достаточно выполнить обычное деление чисел без знаков. Перед ответом сравни знаки делимого и делителя: одинаковые требуют плюса, разные — минуса.

Ошибка: записать результат для 0 : 0 или для деления на ноль. Иногда ноль в делителе принимают за обычное число, хотя умножение на него не может дать ненулевое делимое. Убедись, что делитель не равен нулю, прежде чем начинать вычисления; случай 0 : 0 тоже не имеет определённого частного.

Ошибка: нарушить порядок действий в выражении со скобками и делениями. Так бывает, если вычислять действия по порядку записи, не обращая внимания на правила. Сначала выполни действия в скобках, затем деления и умножения слева направо; подставь промежуточные результаты и проверь вычисления отдельно.

Связь с другими темами

Для деления нужны таблица умножения и понимание, что деление проверяется умножением. Правила знаков опираются на знание положительных, отрицательных и противоположных чисел, а также их модулей. Эти умения пригодятся при решении уравнений, вычислении выражений с рациональными числами и изучении дробей. На координатной прямой знак частного помогает определить, с какой стороны от нуля находится результат: положительный справа, отрицательный слева.

Что запомнить

• Деление на ноль невозможно.
• Ноль можно разделить на любое ненулевое целое число: результат равен нулю.
• Частное чисел одного знака положительно.
• Частное чисел разных знаков отрицательно.
• Сначала делят модули, затем определяют знак частного.
• Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и получают делимое.