§ 2. Буквенные выражения и действия с ними

Определения и обозначения

Буквенное выражение — это запись, составленная из чисел, букв и знаков действий, например 4a + 7. Буква обозначает число, которое может быть неизвестным или меняться в зависимости от условия. Благодаря буквам можно записать одно правило сразу для многих чисел, а не повторять вычисления отдельно.

Значение буквенного выражения — число, которое получается, когда вместо букв подставляют заданные числа и выполняют действия. Например, если в выражении 2a + 1 буква a равна 3, значение выражения равно 7. Это понятие нужно, чтобы вычислять результат по формуле или проверить, подходит ли число к условию.

Коэффициент — числовой множитель буквенной части одночлена, то есть произведения чисел и букв без сложения или вычитания. В записи 6xy коэффициент равен 6, а буквенная часть — xy. Если число не написано, коэффициент равен 1: a = 1a; если перед буквой стоит минус, коэффициент равен −1: −a = −1a.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 3x и −5x. У них могут быть разные коэффициенты, но буквы и их степени должны совпадать. Понимание этого свойства помогает упростить выражение: подобные слагаемые можно объединить, а слагаемые с разными буквенными частями — нельзя.

Как это устроено

Чтобы составить выражение по словесному условию, сначала выбирают букву для числа, о котором говорится в задаче. Затем переводят слова в действия: «на 5 больше» означает прибавить 5, а «в 3 раза больше» — умножить на 3. Например, если число обозначено буквой n, то число на 5 больше него записывается как n + 5. Такой способ сохраняет смысл условия и позволяет работать с любым значением n.

Чтобы найти значение выражения, вместо каждой буквы подставляют заданное число, а затем выполняют действия по правилам порядка действий. Подстановку удобно делать в скобках, особенно если число отрицательное: при a = −2 выражение 3a + 5 превращается в 3 · (−2) + 5. Скобки показывают, что отрицательное число целиком заменило букву, и помогают не перепутать знаки. После подстановки сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание, если скобки не задают другой порядок.

Запись 4 · a обычно сокращают до 4a: знак умножения между числом и буквой не ставят. Это не меняет действие — число 4 по-прежнему умножается на значение a. Буквы тоже можно записывать рядом: a · b = ab. Такая короткая запись удобна, потому что буквенные выражения часто содержат несколько множителей.

Подобные слагаемые можно складывать и вычитать потому, что у них одна и та же буквенная часть. Например, 2x + 5x — это две части величины x и ещё пять таких же частей, всего семь частей x: 7x. Поэтому при приведении подобных слагаемых буквенную часть оставляют, а действия выполняют только с коэффициентами. Слагаемые 2x и 5y объединить нельзя: они обозначают части разных величин.

Чтобы раскрыть скобки перед выражением, умножают стоящий перед ними множитель на каждое слагаемое внутри. Если перед скобками стоит плюс, знаки слагаемых сохраняются: +(a − 2) = a − 2. Минус перед скобками равносилен умножению на −1, поэтому каждый знак внутри меняется на противоположный: −(a − 2) = −a + 2. Это правило позволяет убрать скобки, не меняя значения выражения.

Основные действия с буквенными выражениями

Сначала найдите в таблице нужное действие, а затем сверьте свой способ с правилом и примером. Если в выражении несколько действий, сначала примените правила порядка действий и раскройте скобки, а после этого объедините подобные слагаемые.

Разбор задач

Найдём значение выражения 3a + 5 при a = 2. Здесь число 2 заменит букву a, поэтому после подстановки получится числовое выражение. В нём сначала выполняется умножение, а затем сложение. Запишем решение по шагам:

1. Подставляем вместо a число 2: 3 · 2 + 5.
2. Выполняем умножение: 6 + 5.
3. Складываем: 11.

Ответ: 11. Мы не складывали 3 и 5 сразу, потому что в исходной записи 3a означает умножение 3 на a. Подстановка превратила буквенное выражение в числовое, и порядок действий остался прежним.

Упростим выражение 4x + 3x − 2. Сначала определим, какие слагаемые подобны: 4x и 3x имеют одну и ту же буквенную часть x. Число −2 — отдельное слагаемое без буквы, поэтому объединять его с ними нельзя. Решение:

1. Выделяем подобные слагаемые: 4x и 3x.
2. Складываем их коэффициенты: 4 + 3 = 7, буквенную часть x сохраняем.
3. Записываем результат вместе с оставшимся слагаемым: 7x − 2.

Ответ: 7x − 2. Проверить преобразование можно подстановкой, например x = 1: исходное выражение равно 4 + 3 − 2 = 5, а упрощённое — 7 − 2 = 5. Одинаковые результаты подтверждают, что выражения равны.

Упростим 5(2a − 3) − 2(a + 4). Здесь важно учесть два множителя перед скобками: во второй части выражения стоит число −2, потому что перед скобками записано вычитание. Сначала раскроем обе скобки, затем соберём подобные слагаемые:

1. Умножаем 5 на каждое слагаемое в первых скобках: 5(2a − 3) = 10a − 15.
2. Умножаем −2 на каждое слагаемое во вторых скобках: −2(a + 4) = −2a − 8.
3. Записываем результат: 10a − 15 − 2a − 8.
4. Объединяем подобные слагаемые: 10a − 2a = 8a, а −15 − 8 = −23.

Ответ: 8a − 23. Знак перед вторыми скобками изменил знак не только у a, но и у числа 4. Если забыть это, результат будет неверным.

Типичные ошибки

При подстановке отрицательного числа некоторые заменяют букву числом без скобок. Например, запись a² при a = −3 нужно превратить в (−3)², иначе −3² можно ошибочно прочитать как −(3²). Скобки показывают, что в степень возводится всё отрицательное число. Проверьте себя: сначала запишите значение буквы в скобках, а потом выполните действие.

Иногда складывают слагаемые, у которых разные буквенные части, например 3a + 2b. Так делать нельзя: a и b могут обозначать разные числа, поэтому такие слагаемые не являются частями одной и той же величины. Подобными будут 3a и 2a, но не 3a и 2b. Перед упрощением сравните буквы и их степени во всех слагаемых.

Ещё одна ошибка — складывать сами буквенные части: например, считать, что 4x + 3x = 7xx или 7x + x. При приведении подобных слагаемых складывают коэффициенты, а одинаковую буквенную часть записывают один раз. Верная запись: 4x + 3x = (4 + 3)x = 7x. Проверьте, что буква не исчезла и не появилась лишняя.

При раскрытии скобок с минусом иногда меняют знак только у первого слагаемого. Например, −(a + 4) — это −a − 4, а не −a + 4: минус умножается на каждое слагаемое внутри скобок. Ошибку легко обнаружить, если мысленно записать множитель −1 перед каждым слагаемым. После раскрытия пересчитайте знаки всех частей выражения.

Связь с другими темами

Для работы с буквенными выражениями нужны знакомые правила: порядок действий, действия с отрицательными числами, свойства сложения и умножения. Они помогают правильно выполнять подстановку и преобразования, не меняя значения выражения. Буквы позволяют составлять формулы и уравнения по условиям задач: вместо многих отдельных вычислений можно записать общий способ решения. Позже умение упрощать выражения пригодится при решении уравнений и изучении алгебры.

Что запомнить

• Буква в выражении обозначает число.
• Значение выражения находят подстановкой чисел вместо букв.
• Числовой множитель буквенной части называют коэффициентом.
• Складывать и вычитать можно только подобные слагаемые.
• При приведении подобных слагаемых буквенная часть не меняется.
• Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри.