7.4. Сложение рациональных чисел

Определения и обозначения

Сложение рациональных чисел — действие, результатом которого является рациональное число. Рациональные числа могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Правило сложения зависит от знаков слагаемых. Поэтому перед вычислением полезно определить, одинаковые у них знаки или разные.

Сложение чисел с одинаковыми знаками выполняют так: складывают модули слагаемых и ставят перед результатом их общий знак. Модуль — это расстояние числа от нуля, поэтому он всегда неотрицателен. Например, модули чисел −4 и 7 равны 4 и 7. Это правило помогает отдельно вычислить величину суммы и определить её направление.

Сложение чисел с разными знаками выполняют так: из большего модуля вычитают меньший, а результату приписывают знак числа с большим модулем. Сравнивать нужно именно модули, а не сами числа. Это позволяет понять, какое из двух противоположных направлений окажется сильнее. Если модули одинаковы, применяется отдельный случай.

Противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки. Например, 5 и −5 — противоположные числа. Их сумма равна нулю, потому что одно число полностью уравновешивает другое. Понятие противоположных чисел помогает быстро находить пары с нулевой суммой.

Как это устроено

Представь движение по прямой, где ноль — начальная точка, а направление вправо считается положительным. Если к числу прибавляют ещё одно число с тем же знаком, перемещение продолжается в ту же сторону. Например, два шага влево и ещё пять шагов влево дают семь шагов влево. Поэтому при одинаковых знаках складывают длины перемещений, то есть модули, и сохраняют общий знак.

При разных знаках одно перемещение направлено вправо, а другое — влево. Сначала часть пути в одном направлении компенсируется таким же путём в противоположном направлении. Если одно перемещение длиннее, после компенсации остаётся разность их длин. Так возникает правило: вычесть меньший модуль из большего и взять знак того слагаемого, чьё направление осталось.

На координатной прямой сложение можно представить как последовательное перемещение. Чтобы прибавить положительное число, от исходной точки передвигаются вправо на величину этого числа. Чтобы прибавить отрицательное, передвигаются влево на его модуль. Точка, в которой окажемся после движения, показывает сумму.

Модуль нужен, чтобы сравнить длины противоположно направленных перемещений. Например, у чисел −9 и 4 модули равны 9 и 4, поэтому движение влево длиннее и сумма будет отрицательной. При этом само число 4 больше −9, но это сравнение не определяет знак суммы. Решает именно то, у какого слагаемого больше модуль.

Если модули равны, перемещения в противоположных направлениях имеют одинаковую длину. Каждая часть пути вправо компенсируется частью пути влево, и точка возвращается к началу. Например, −3 и 3 дают в сумме ноль. Поэтому при разных знаках и равных модулях у суммы нет ни положительного, ни отрицательного знака.

Правила сложения рациональных чисел

Сначала найди строку, которая подходит к знакам и модулям твоих слагаемых. Затем выполни действие с модулями и отдельно определи знак суммы. Пример в последнем столбце показывает, как правило применяется к конкретным числам.

Разбор задач

Вычислите: (−7) + (−5).

У обоих слагаемых знак минус, значит, нужно сложить их модули. Модули равны 7 и 5, а общий знак слагаемых — отрицательный. Поэтому результат будет отрицательным, а его модуль равен 7 + 5. Запись в скобках помогает не спутать знак числа со знаком действия сложения.

1. Определяем модули: |−7| = 7, |−5| = 5.
2. Складываем модули: 7 + 5 = 12.
3. Ставим общий знак минус: (−7) + (−5) = −12.

Ответ: −12. Проверка по смыслу: оба слагаемых отрицательные, значит, сумма тоже должна быть отрицательной. Кроме того, две величины, направленные в одну сторону, дают результат с модулем 12.

Вычислите: 12 + (−8).

Знаки слагаемых разные, поэтому модули не складываем. Сравним их: у числа 12 модуль 12, у числа −8 модуль 8. Больший модуль принадлежит положительному слагаемому, значит, сумма будет положительной.

1. Находим модули: |12| = 12, |−8| = 8.
2. Вычитаем меньший модуль из большего: 12 − 8 = 4.
3. Ставим знак числа с большим модулем: 12 + (−8) = 4.

Ответ: 4. По координатной прямой это можно представить так: от нуля двигаемся на 12 единиц вправо, затем на 8 единиц влево. После взаимной компенсации остаётся 4 единицы вправо.

Вычислите: (−3,6) + 2,4 + (−1,8).

Здесь три слагаемых, поэтому можно складывать их по очереди или сначала поискать удобные пары. Числа −3,6 и −1,8 имеют одинаковый знак, а число 2,4 — противоположный. Удобно объединить два отрицательных слагаемых: так будет видно, какое направление в итоге сильнее. При группировке слагаемых сумма не меняется.

1. Складываем два отрицательных числа: (−3,6) + (−1,8) = −5,4.
2. Получаем выражение −5,4 + 2,4; знаки разные, а больший модуль равен 5,4.
3. Вычитаем модули: 5,4 − 2,4 = 3, и ставим знак большего по модулю слагаемого — минус.
4. Итак, (−3,6) + 2,4 + (−1,8) = −3.

Ответ: −3. Проверим смысл: общая отрицательная величина равна 3,6 + 1,8 = 5,4, а положительная — 2,4. Отрицательная часть больше на 3, поэтому итог отрицательный и равен −3.

Типичные ошибки

Ошибка: при одинаковых знаках сложить числа, не учитывая знак результата. Например, из −7 и −5 ошибочно получить 12. Так бывает, если помнить о сложении величин, но забыть про направление. Проверь себя: у обоих слагаемых знак минус, значит, и у суммы должен быть минус.

Ошибка: при разных знаках сложить модули. Например, для 12 + (−8) получить 20. Такое случается, когда правило сложения модулей применяют ко всем случаям подряд. Проверь знаки до вычисления: противоположные направления частично компенсируются, поэтому здесь нужно вычитать модули.

Ошибка: выбирать знак по числу с большим значением, а не по большему модулю. Например, −9 + 4 не становится положительной суммой только потому, что 4 больше −9 при сравнении чисел. Сравни расстояния до нуля: 9 больше 4, поэтому знак суммы отрицательный. Проверка по перемещениям показывает, что девять шагов влево не уравновешиваются четырьмя шагами вправо.

Ошибка: при равных модулях и разных знаках оставить знак одного из слагаемых. Например, записать 7 + (−7) = 7 или −7. Числа полностью компенсируют друг друга, поэтому ни одно направление не остаётся. Для проверки сложи модули и сравни: если они равны, разность равна нулю.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно складывать рациональные числа, нужно уметь сравнивать их, находить модули и распознавать противоположные числа. Эти знания нужны, чтобы выбрать способ вычисления и правильно определить знак ответа. Если трудно решить, какое слагаемое сильнее, сравни его расстояние от нуля с расстоянием другого слагаемого.

Сложение используется при вычитании рациональных чисел: вычитание можно заменить сложением противоположного числа. Оно также помогает вычислять значения выражений и решать уравнения, в которых встречаются отрицательные числа. Поэтому понимание правил сложения облегчает работу со многими последующими заданиями.

Что запомнить

• Сумма рациональных чисел — рациональное число.
• При одинаковых знаках модули складывают.
• При одинаковых знаках сумма сохраняет общий знак слагаемых.
• При разных знаках из большего модуля вычитают меньший.
• При разных знаках сумма получает знак слагаемого с большим модулем.
• Противоположные числа в сумме дают ноль.