7.5. Вычитание рациональных чисел

Определения и обозначения

В записи a − b = c число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а c — разностью. Уменьшаемое показывает, из какого числа вычитают, а вычитаемое — какое число нужно вычесть. Эти названия помогают не перепутать числа и понять, у какого из них меняется знак при вычислении.

Противоположными называют числа, сумма которых равна нулю. Например, для числа 6 противоположное число — −6, потому что 6 + (−6) = 0. Это понятие нужно, чтобы заменять вычитание сложением и работать с числами по одним правилам.

Разность рациональных чисел — результат вычитания одного рационального числа из другого. Рациональные числа включают целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, а также отрицательные числа и ноль. Разность тоже является рациональным числом, поэтому её можно находить по общему правилу для таких чисел.

Чтобы вычесть число, нужно прибавить противоположное ему: a − b = a + (−b). Например, вместо 8 − 3 можно вычислить 8 + (−3). Это правило превращает вычитание в сложение, для которого уже известны способы действий с разными знаками.

Как это устроено

Вычитание заменяют сложением противоположного числа, потому что сложение числа и его противоположного даёт ноль. Так, вычитание b можно представить как прибавление числа, которое отменяет b: a − b = a + (−b). После замены проще вычислять выражение по правилам сложения рациональных чисел. Важно сохранить первое число и изменить знак именно у второго.

Если вычитаемое положительное, его противоположное — отрицательное число. Поэтому a − 5 = a + (−5), а, например, 9 − 5 превращается в 9 + (−5). Здесь складываются числа с разными знаками: сравнивают их модули, вычитают меньший модуль из большего и ставят знак числа с большим модулем. Модуль — расстояние от числа до нуля на числовой прямой.

Если вычитаемое отрицательное, его противоположное положительно. Поэтому a − (−b) = a + b: два знака минус в этой записи не сохраняются, потому что мы прибавляем противоположное вычитаемому число. Например, 6 − (−2) превращается в 6 + 2. Результат может оказаться больше уменьшаемого, ведь к нему прибавляют положительное число.

Правило работает и с обыкновенными, и с десятичными дробями: сначала меняют вычитание на сложение противоположного числа, затем вычисляют. Например, ½ − ⅓ = ½ + (−⅓); чтобы сложить эти обыкновенные дроби, их приводят к общему знаменателю. В выражении 2,4 − 0,7 получают 2,4 + (−0,7) и складывают десятичные числа. Способ записи чисел не меняет самого правила.

После замены вычитания сложением нельзя забывать о знаках. Если знаки одинаковые, складывают модули и сохраняют общий знак; если разные — сравнивают модули и вычитают меньший из большего. Например, −7 + 3 = −4, потому что модуль числа −7 больше, а его знак отрицательный. Значит, удобный порядок действий таков: сначала заменить вычитание, затем применить правило сложения.

Замена вычитания рациональных чисел сложением

Найди вычитаемое, измени его знак и запиши сложение. Затем вычисли сумму по правилам для знаков и чисел выбранного вида. Таблица показывает, как действовать в самых частых случаях.

Разбор задач

В каждом примере сначала найдём вычитаемое и заменим его противоположным числом. Затем выполним сложение, учитывая знаки. Такой порядок помогает не менять знак у уменьшаемого и не ошибиться при вычислениях.

Вычислите 7 − 12.

1. Уменьшаемое — 7, вычитаемое — положительное число 12. Заменяем вычитание сложением его противоположного: 7 − 12 = 7 + (−12).
2. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому сравниваем модули: |−12| = 12 больше, чем |7| = 7. Вычитаем меньший модуль из большего: 12 − 7 = 5.
3. Знак результата берём у числа с большим модулем, то есть у −12. Получаем 7 + (−12) = −5.

Ответ: −5. Результат отрицательный, потому что вычитали из 7 большее положительное число 12.

Вычислите −3,5 − (−1,2).

1. Вычитаемое — отрицательное число −1,2, его противоположное число — 1,2. Поэтому заменяем вычитание сложением: −3,5 − (−1,2) = −3,5 + 1,2.
2. У чисел разные знаки. Сравниваем модули: 3,5 больше 1,2, поэтому из большего вычитаем меньший: 3,5 − 1,2 = 2,3.
3. Больший модуль принадлежит отрицательному числу −3,5, значит, ответ будет отрицательным. Получаем −3,5 + 1,2 = −2,3.

Ответ: −2,3. Вычитание отрицательного числа превратилось в сложение, но сумма осталась отрицательной, так как модуль отрицательного слагаемого больше.

Вычислите −2/3 − 5/6.

1. Вычитаемое положительное, поэтому заменяем его противоположным: −2/3 − 5/6 = −2/3 + (−5/6). Теперь нужно сложить две отрицательные дроби.
2. Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю 6: −2/3 = −4/6. Получаем −4/6 + (−5/6).
3. Знаки слагаемых одинаковые, поэтому складываем модули 4/6 и 5/6 и сохраняем минус: −4/6 + (−5/6) = −9/6. Сокращаем дробь на 3: −9/6 = −3/2.

Ответ: −3/2. Проверка по смыслу: складывались два отрицательных числа, поэтому результат тоже отрицательный.

Типичные ошибки

Ошибка: меняют знак уменьшаемого вместо вычитаемого. Например, из 7 − 12 ошибочно получают −7 − 12, хотя противоположным заменяют только число после знака минус. Так бывает, если невнимательно читают запись. Для проверки подпиши числа: первое — уменьшаемое, второе — вычитаемое, и меняй знак только у второго.

Ошибка: при вычитании отрицательного числа оставляют действие вычитания. Например, −3 − (−2) неверно превращают в −3 + (−2). Это происходит, если не учитывать, что противоположное отрицательному числу — положительное. Проверь замену отдельно: −(−2) даёт +2, значит, выражение становится −3 + 2.

Ошибка: думают, что вычитание всегда уменьшает число. Это неверно, если вычитают отрицательное число: 4 − (−3) = 7, то есть результат больше 4. Причина ошибки — привычка связывать знак вычитания только с уменьшением. Перед вычислением посмотри на знак вычитаемого: отрицательное число после замены становится положительным слагаемым.

Ошибка: после замены вычитания неверно складывают числа с разными знаками. Иногда складывают модули или выбирают знак наугад, хотя нужно вычесть меньший модуль из большего и поставить знак числа с большим модулем. Такая ошибка возникает, когда правила сложения забывают применить к новой записи. Проверь отдельно оба шага: сравни модули, а затем определи знак по большему модулю.

Связь с другими темами

Для вычитания нужны знания о рациональных и противоположных числах, а также правила сложения чисел с одинаковыми и разными знаками. Без этого нельзя правильно выполнить вычисления после замены вычитания сложением. Если в выражении есть дроби, дополнительно пригодятся правила сложения обыкновенных или десятичных дробей.

Правило вычитания помогает упрощать выражения и решать уравнения с рациональными числами. Например, заменив разность сложением, можно собрать слагаемые и выполнить вычисления удобным способом. Это делает работу со знаками более последовательной.

На координатной прямой сложение числа можно представить как перемещение: положительное число ведёт вправо, отрицательное — влево. Вычитание числа означает перемещение в направлении, противоположном направлению сложения этого числа. Поэтому вычитание отрицательного числа ведёт вправо, как и прибавление положительного.

Что запомнить

• a − b = a + (−b).
• При вычитании меняют знак у вычитаемого, а не у уменьшаемого.
• Вычесть отрицательное число — значит прибавить противоположное ему положительное число.
• Вычитание нуля не меняет число.
• Разность числа и самого себя равна нулю.
• После замены вычитания сложением применяют правила сложения рациональных чисел.