2. Вычитание рациональных чисел

Определения и обозначения

Разность рациональных чисел — результат вычитания: из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Например, в записи 9 − 4 разность равна 5. Это понятие нужно, чтобы называть число, полученное после действия вычитания.

Уменьшаемое и вычитаемое — числа, записанные соответственно до и после знака «−» в записи a − b. Число a называют уменьшаемым, а число b — вычитаемым. По этим названиям легко определить, какое число изменяют и какое из него убирают.

Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю. Например, 6 и −6 противоположны, потому что 6 + (−6) = 0; противоположное числу b обозначают −b. Это обозначение понадобится, чтобы заменить вычитание сложением.

Вычитание рациональных чисел — действие, которое можно заменить сложением с противоположным числом. Вместо a − b записывают a + (−b). Благодаря этому для вычитания достаточно хорошо знать правила сложения чисел с разными знаками.

Как это устроено

Разность a − b — это число, которое при сложении с b даёт a. Например, 10 − 3 = 7, потому что 7 + 3 = 10. Такое понимание показывает, почему вычитание связано со сложением: мы ищем неизвестное слагаемое в равенстве x + b = a.

Из этого следует основное правило: a − b = a + (−b). Чтобы его получить, достаточно заменить вычитаемое b на противоположное число −b. Тогда действие вычитания превращается в привычное сложение, а результат не меняется, потому что b и −b взаимно уничтожаются.

Если вычитают положительное число, его противоположное отрицательно: a − 5 = a + (−5). Если же вычитают отрицательное число, противоположным ему будет положительное: a − (−5) = a + 5. Поэтому два знака «−» рядом не означают, что результат обязательно отрицательный: второй знак относится к числу, а не к действию.

После замены нужно вычислить сумму. У чисел с одинаковыми знаками складывают модули и сохраняют общий знак, а у чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший и берут знак числа с большим модулем. Это правило одинаково работает для целых, дробных и десятичных чисел. В дробях сначала приводят слагаемые к общему знаменателю, а в десятичных числах выравнивают запятые.

Замена вычитания сложением

Сначала определите знаки уменьшаемого и вычитаемого, а затем измените знак только у вычитаемого. После этого выберите строку таблицы и примените правило сложения. Буквы a и b в таблице обозначают положительные значения чисел, стоящих рядом со знаками.

Разбор задач

Задача 1

Условие: вычислите 8 − 13. Здесь уменьшаемое положительное, а вычитаемое тоже положительное, поэтому после замены получится сумма чисел с разными знаками.

1. Заменяем вычитание сложением: 8 − 13 = 8 + (−13).
2. Сравниваем модули: 13 больше 8, значит, из 13 вычитаем 8 и берём знак числа −13.
3. Получаем 13 − 8 = 5, поэтому сумма равна −5.

Ответ: −5.

Задача 2

Условие: вычислите −3,5 − (−1,8). Вторая часть выражения отрицательна, значит, её противоположное число будет положительным.

1. Заменяем вычитание отрицательного числа сложением: −3,5 − (−1,8) = −3,5 + 1,8.
2. Модули различны, поэтому вычитаем меньший модуль из большего: 3,5 − 1,8 = 1,7.
3. Больший модуль был у отрицательного числа −3,5, значит, результат отрицательный.

Ответ: −1,7.

Задача 3

Условие: вычислите −2 1/3 − (−5/6). Нужно одновременно раскрыть скобки и привести дробные части к общему знаменателю.

1. Заменяем вычитание сложением: −2 1/3 + 5/6.
2. Представляем смешанное число как неправильную дробь: −7/3 + 5/6.
3. Приводим к знаменателю 6: −14/6 + 5/6 = −9/6.
4. Сокращаем дробь: −9/6 = −3/2 = −1 1/2.

Ответ: −1 1/2.

Типичные ошибки

Не меняют знак вычитаемого. Ошибка возникает, когда ученик механически переписывает выражение и оставляет действие вычитания. Проверьте себя: после знака «−» должно появиться сложение, а число после него должно стать противоположным.

Считают, что вычитание отрицательного числа всегда даёт отрицательный результат. Так происходит из-за привычки видеть первый знак «−» и не учитывать второй. Запишите a − (−b) = a + b и только потом определяйте знак результата.

Меняют знак уменьшаемого вместо вычитаемого. Обычно это случается, когда знаки в выражении читают слева направо без выделения чисел. Уменьшаемое стоит до знака действия и не меняется, а противоположным делают только число после «−».

Складывают модули чисел с разными знаками. Это правило подходит для одинаковых знаков, поэтому при разных знаках результат часто получается слишком большим. Сначала сравните модули, вычтите меньший из большего и поставьте знак числа с большим модулем.

Связь с другими темами

До изучения вычитания нужны рациональные числа, противоположные числа, модуль числа и правила сложения рациональных чисел. Новое правило помогает вычислять значения числовых выражений и решать уравнения, где встречаются отрицательные числа. Оно также используется при действиях с обыкновенными и десятичными дробями, поэтому служит основой для дальнейшей работы с рациональными числами.

Что запомнить

• a − b = a + (−b).
• При вычитании меняют знак вычитаемого и заменяют вычитание сложением.
• Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного.
• После замены вычитания применяют правила сложения рациональных чисел.
• При сложении чисел с разными знаками сравнивают их модули.
• Порядок чисел в разности важен: a − b обычно не равно b − a.