2. Вычитание рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Например, 3/4 и −5/2 — рациональные числа, а целые числа тоже входят в это множество: 6 = 6/1, −2 = −2/1. Такое определение позволяет применять общие правила к целым числам и дробям.

Вычитание рациональных чисел — действие, при котором из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Оно связано с поиском неизвестного слагаемого: если a − b = c, то b + c = a. Эта связь помогает понять, какое число должно получиться при вычитании.

Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю. Например, 4 и −4 противоположны: у них одинаковые модули, то есть расстояния от нуля, но разные знаки. Пара таких чисел нужна, чтобы заменить вычитание сложением.

Разность чисел — результат вычитания; запись a − b читают «а минус б». Эту разность можно представить как сумму a и числа, противоположного b: a − b = a + (−b). Обозначение показывает, что вычитаемое b нужно заменить на −b, не меняя a.

Как это устроено

Пусть a − b = c: это означает, что c — число, которое нужно прибавить к b, чтобы получить a, то есть b + c = a. Сложение коммутативно, поэтому из равенства b + c = a следует a = b + c. Число c можно записать как a + (−b), потому что b и −b в сумме дают ноль. Так получается правило a − b = a + (−b), которое работает для любых рациональных чисел.

Чтобы вычесть положительное число, к уменьшаемому прибавляют отрицательное число той же величины: например, 8 − 3 = 8 + (−3). На числовой прямой это шаг влево от 8 на три единицы. Поэтому результат становится меньше уменьшаемого, хотя при сложении применяются обычные правила для чисел с разными знаками.

Если вычитаемое отрицательное, его противоположное число положительно: a − (−b) = a + b, если b положительно. Например, 6 − (−2) означает прибавить 2. На прямой вычитание отрицательного числа — шаг вправо, поэтому результат увеличивается; это не особое исключение, а следствие общего правила о противоположном числе.

С дробями порядок действий тот же: сначала замените вычитание сложением противоположного числа, а затем сложите дроби. Если знаменатели разные, приведите их к общему знаменателю, чтобы части имели одинаковый размер. После этого выполните сложение числителей и сохраните знаменатель, а если возможно — сократите результат.

На координатной прямой число a задаёт начальную точку, а вычитание b — перемещение на величину, противоположную b. Длина перемещения равна модулю b, то есть расстоянию от b до нуля. Если b положительно, движение идёт влево; если b отрицательно — вправо. Так направление движения помогает заранее понять, будет результат больше или меньше числа a.

Вычитание рациональных чисел

Сначала найдите в выражении вычитаемое и замените его противоположным числом. Затем определите знаки слагаемых и примените правила сложения рациональных чисел. Для дробей перед сложением проверьте, одинаковы ли знаменатели.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 7 − 12. Уменьшаемое положительно, а вычитаемое больше него, поэтому после замены на сложение ожидается отрицательный результат. Запись с противоположным числом помогает не перепутать знаки.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного вычитаемого: 7 − 12 = 7 + (−12).
2. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому из большего модуля 12 вычитаем меньший модуль 7: 12 − 7 = 5.
3. Больше модуль у числа −12, значит, результат будет отрицательным: 7 + (−12) = −5.

Ответ: −5. Проверка по смыслу: от 7 отняли 12, то есть прошли на 12 единиц влево и оказались левее нуля.

Задача 2. Вычислите −5 − (−8). Здесь вычитаемое отрицательное, поэтому важно не оставить перед ним минус и не менять знак у уменьшаемого. После преобразования сравним модули получившихся слагаемых.

1. Противоположное числу −8 — число 8, значит, −5 − (−8) = −5 + 8.
2. Числа имеют разные знаки, поэтому вычитаем меньший модуль из большего: 8 − 5 = 3.
3. Больший модуль у положительного слагаемого 8, значит, сумма положительна: −5 + 8 = 3.

Ответ: 3. Это согласуется с прямой: вычитание отрицательного числа означает движение вправо на 8 единиц от точки −5.

Задача 3. Вычислите −2/3 − 5/6 + 1/2. В выражении есть вычитание дроби, поэтому сначала заменим его сложением противоположного числа. Затем приведём все дроби к общему знаменателю и сложим числители с учётом знаков.

1. Заменяем вычитание: −2/3 − 5/6 + 1/2 = −2/3 + (−5/6) + 1/2.
2. Общий знаменатель дробей 3, 6 и 2 равен 6. Получаем −4/6 + (−5/6) + 3/6.
3. Складываем числители: (−4) + (−5) + 3 = −6. Поэтому сумма равна −6/6 = −1.

Ответ: −1. Проверить вычисление можно, сложив отдельно числители после приведения к знаменателю 6: их сумма действительно равна −6.

Типичные ошибки

Меняют знак уменьшаемого вместо вычитаемого. Так происходит, когда правило «поменять знак» запоминают без указания, к какому числу оно относится. Проверка: перепишите выражение в виде a + (−b) и убедитесь, что a осталось прежним.

Считают, что вычитание отрицательного числа уменьшает результат. Причина — минус перед скобками принимают за обычное вычитание, не учитывая знак числа внутри скобок. Замените вычитание сложением противоположного: например, 4 − (−3) = 4 + 3, и проверьте направление движения на прямой.

Теряют скобки или неверно определяют знак при записи a − (−b). Два минуса рядом могут сбивать, поэтому сначала выполните только преобразование: a − (−b) = a + b. Затем проверьте, что положительное b записано со знаком плюс.

Вычитают числители и знаменатели дробей отдельно. Так делать нельзя: например, дроби с разными знаменателями описывают части разного размера. Сначала приведите их к общему знаменателю, а затем проверьте, что знаменатель остался общим, а действие выполнено только с числителями.

Связь с другими темами

Для вычитания рациональных чисел нужны правила сложения рациональных чисел, понятие противоположных чисел и умение выполнять действия с обыкновенными дробями. Если эти знания забылись, повторите, как складывать числа с разными знаками и находить общий знаменатель. Новое правило позволяет решать уравнения, находить разность величин и выполнять вычисления с координатами и температурами. Например, разность температур показывает, на сколько градусов одно значение отличается от другого.

Что запомнить

• a − b = a + (−b).
• При вычитании противоположное число получают для вычитаемого.
• Вычитание положительного числа равносильно прибавлению отрицательного.
• Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного.
• После замены вычитания сложением применяют правила сложения рациональных чисел.
• При вычитании дробей сначала обеспечивают общий знаменатель.