"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Вычитание рациональных чисел помогает находить разность положительных и отрицательных чисел, в том числе дробей и десятичных дробей. Главное правило: чтобы вычесть число, прибавь противоположное ему. Поэтому a − b = a + (−b). После такой замены действуют по правилам сложения рациональных чисел, а результат можно проверить сложением разности с вычитаемым.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби, где числитель и знаменатель целые числа, а знаменатель не равен нулю. Рациональное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю. К таким числам относятся, например, 3, −½ и 0, а также десятичные дроби. Это понятие позволяет рассматривать разные виды чисел по общим правилам.
Вычитание рациональных чисел — действие, обратное сложению. Разность a − b — это число, которое при сложении с b даёт a. Здесь a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а запись a − b — разностью. Такое определение помогает понять, почему вычитание можно заменить сложением.
Числа a и −a называют противоположными: их модули одинаковы, а знаки противоположны; сумма этих чисел равна нулю. Например, числа 5 и −5 противоположны, потому что 5 + (−5) = 0. Модуль числа — это расстояние от него до нуля, поэтому у противоположных чисел он одинаковый. Это понятие нужно, чтобы правильно заменять вычитаемое при вычислении разности.
Разность a − b ищут как число, которое в сумме с b даст a. Такое понимание следует из связи сложения и вычитания: если a − b = c, то c + b = a. Например, 10 − 3 = 7, потому что 7 + 3 = 10. Поэтому проверка сложением помогает убедиться, что разность найдена верно.
Чтобы найти такое число, прибавляют к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому: a − b = a + (−b). Действительно, если к сумме a + (−b) прибавить b, числа −b и b взаимно уничтожатся, и останется a. Так вычитание сводится к уже знакомому действию сложения. Это правило работает для положительных, отрицательных чисел и нуля.
При замене важно определить, какое число стоит после знака вычитания. Именно его заменяют противоположным, потому что оно является вычитаемым; первое число остаётся прежним. Например, в записи −6 − 2 меняют 2 на −2, и получают −6 + (−2). Если заменить знак у уменьшаемого, связь с определением разности нарушится.
После замены действия применяют правила сложения рациональных чисел. При разных знаках сравнивают модули: из большего вычитают меньший и сохраняют знак числа с большим модулем. При одинаковых знаках складывают модули и оставляют общий знак. Например, в выражении 7 + (−12) модули различны, а больший модуль у числа −12.
Проверка строится из определения разности: к ответу прибавляют вычитаемое. Если получено уменьшаемое, вычисление согласуется с исходным действием. Например, для 7 − 12 = −5 проверяем: −5 + 12 = 7. Если равенство не получилось, стоит проверить замену знака и действия с модулями.
| Пример | Замена вычитания сложением | Результат |
|---|---|---|
| Положительное число вычитают из числа | Прибавить противоположное положительное число | Рассчитать по правилам сложения чисел с разными знаками |
| Отрицательное число вычитают из числа | Прибавить противоположное отрицательному число, то есть положительное | Рассчитать по правилам сложения чисел с одинаковыми или разными знаками |
| Из числа вычитают само себя | Прибавить противоположное этому числу | Получить ноль |
| Из нуля вычитают число | Прибавить противоположное вычитаемому | Получить число, противоположное вычитаемому |
Сначала определите знак вычитаемого, а затем запишите его противоположное число вместо вычитания. После этого выберите правило сложения по знакам получившихся слагаемых. В последних двух строках можно сразу узнать результат, используя свойства противоположных чисел.
Здесь из положительного числа вычитают большее положительное число. Чтобы не смешивать вычитание со сложением, сначала заменим действие по правилу. Затем сравним модули получившихся слагаемых и определим знак ответа.
Ответ: −5. Проверка: −5 + 12 = 7, то есть получилось исходное уменьшаемое.
Вычитаемое отрицательное, поэтому противоположным ему будет положительное число 9. Скобки помогают увидеть, что число после знака вычитания — именно −9. После замены действия останется сложить числа с разными знаками.
Ответ: 5. Проверка: 5 + (−9) = −4, значит, разность найдена правильно.
Сначала нужно заменить вычитание отрицательного числа сложением положительного. Тогда x окажется неизвестным слагаемым в сумме с 3,5. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое; это действие можно выполнить по тому же правилу.
Ответ: x = −4,7. Проверка дала правую часть уравнения, поэтому найденное значение подходит.
Иногда при переходе к сложению меняют знак у уменьшаемого, то есть у первого числа. Это происходит, если ученик ориентируется на знак минус в действии, а не определяет вычитаемое. Менять нужно только число после знака вычитания: например, 8 − 3 = 8 + (−3). Проверьте запись по правилу a − b = a + (−b).
Другая ошибка — считать, что вычитание отрицательного числа обязательно даст отрицательное число. На самом деле противоположное отрицательному число положительное: например, 6 − (−2) = 6 + 2. Ошибка часто возникает из-за того, что минус перед скобками принимают за знак результата. Для самопроверки сначала отдельно назовите противоположное вычитаемому.
Если не поставить скобки вокруг отрицательного вычитаемого, можно неверно понять, какое число нужно заменить противоположным. Например, в записи −4 − (−9) вычитаемое — число −9, а не уменьшаемое −4. Запишите замену со скобками: −4 + 9. Затем проверьте, что знак изменился только у вычитаемого.
При сложении чисел с разными знаками нельзя складывать их модули и выбирать знак наугад. Нужно вычесть меньший модуль из большего, а знак взять у слагаемого с большим модулем. Так, 7 + (−12) = −5, а не −19. Чтобы проверить себя, отдельно сравните модули и оцените, в какую сторону от нуля должен быть результат.
Для вычитания рациональных чисел нужны знания о противоположных числах, модуле числа и правилах сложения рациональных чисел. Именно сложение становится основой вычисления разности после замены вычитания. Если эти правила уверенно применяются, то отрицательные числа не меняют общий способ решения: остаётся внимательно определить знаки и модули.
Вычитание встречается при решении уравнений и нахождении разности величин, например изменения температуры или расстояния между значениями. То же правило применяют к десятичным и обыкновенным дробям: сначала вычитаемое заменяют противоположным, затем складывают. Поэтому умение работать с разностью пригодится в разных задачах, где числа могут быть положительными и отрицательными.
Почему вычитание можно заменить сложением?
Разность a − b — это число, которое при сложении с b даёт a. Число −b при сложении с b даёт ноль, поэтому a − b = a + (−b).
Какое число нужно заменить противоположным при вычитании?
Противоположным заменяют вычитаемое — число после знака вычитания. Уменьшаемое, то есть первое число, оставляют без изменения.
Почему при вычитании отрицательного числа получается сложение?
Противоположное отрицательному числу — положительное число. Поэтому, например, −4 − (−9) превращается в −4 + 9.
Как вычислять разность чисел с разными знаками?
Сначала замените вычитание сложением с противоположным вычитаемым. Если у полученных слагаемых разные знаки, вычтите меньший модуль из большего и поставьте знак числа с большим модулем.
Как проверить результат вычитания рациональных чисел?
Сложите полученную разность с вычитаемым. Если получилось уменьшаемое, значит, вычисление выполнено верно.
§ 36. Вычитание рациональных чисел
