§ 37. Умножение рациональных чисел

Определения и обозначения

Умножение рациональных чисел — это действие, при котором перемножают рациональные числа, в том числе положительные, отрицательные и ноль. Рациональные числа могут быть целыми или дробными, поэтому правило пригодится для разных записей чисел. Умножение позволяет находить результат повторного сложения одинаковых слагаемых, а для отрицательных чисел расширяет это действие. При вычислении отдельно следят за знаком и за величиной результата.

Множители — это числа, которые перемножают. Например, в записи (−4) · 3 числа −4 и 3 являются множителями. Их называют так, чтобы отличать исходные числа от результата действия. Понимание этого слова помогает точно описывать правило умножения и разбирать выражения.

Произведение — это результат умножения. В выражении 5 · (−2) произведение равно −10. Знак умножения обычно записывают точкой или вовсе опускают, если запись остаётся понятной. Например, 3 · 4 и 3 × 4 обозначают одно действие.

Правило знаков определяет знак произведения двух рациональных чисел по знакам множителей. При одинаковых знаках произведение положительно, а при разных — отрицательно; если множитель равен нулю, результат равен нулю. Это правило нужно применять отдельно от вычисления величины произведения. Так меньше риск перепутать знак и сами числа.

Как это устроено

Если оба множителя положительны или оба отрицательны, произведение положительно; если знаки разные, оно отрицательно. Знак зависит именно от того, совпадают ли знаки, а не от того, какие числа больше по величине. Для отрицательных множителей правило можно связать с распределительным свойством: например, чтобы сумма произведений при умножении на число не изменилась, произведение отрицательного числа на отрицательное должно быть положительным. После определения знака остаётся перемножить величины множителей.

Модуль числа — это его расстояние от нуля, поэтому он не бывает отрицательным. При умножении модуль произведения равен произведению модулей множителей: |a · b| = |a| · |b|. Знак результата устанавливают по правилу знаков, а сами модули перемножают как обычные неотрицательные числа. Такое разделение упрощает вычисление: сначала можно найти величину, а затем поставить нужный знак.

Ноль и единица ведут себя особенно просто. Если один множитель равен нулю, произведение равно нулю, потому что ноль означает отсутствие величины; неважно, какое число стоит рядом. При умножении на единицу число сохраняется: a · 1 = a, так как единица не меняет количество равных слагаемых. Эти случаи удобно проверять сразу, не выполняя остальные вычисления.

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, перемножают их числители и отдельно знаменатели: a/b · c/d = (a · c)/(b · d), если знаменатели не равны нулю. Затем определяют знак по знакам исходных дробей и, если возможно, сокращают дробь. Например, при умножении отрицательной дроби на положительную ответ будет отрицательным, даже если вычисленные числитель и знаменатель положительны. Сокращать можно и до умножения, если числитель одного множителя и знаменатель другого имеют общий делитель.

Переместительное свойство позволяет менять множители местами, а сочетательное — по-разному группировать их: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому удобно сначала перемножать числа, дающие целое значение или простой результат. Распределительное свойство имеет вид a · (b + c) = a · b + a · c и действует также при вычитании. Оно помогает раскрывать скобки или, наоборот, выносить общий множитель, но в каждом полученном произведении знак всё равно определяют отдельно.

Знак и значение произведения рациональных чисел

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую знакам множителей. Затем определите знак результата и вычислите модуль произведения, перемножив модули чисел. Если среди множителей есть ноль, произведение сразу равно нулю.

Разбор задач

Вычислим произведение −7 · 4. Сначала смотрим на знаки: один множитель отрицательный, другой положительный, поэтому результат будет отрицательным. Теперь перемножим модули: 7 · 4 = 28. Значит, ответ — −28.

1. Определяем знаки множителей: они разные.
2. По правилу знаков ставим перед результатом минус.
3. Перемножаем модули: |−7| · |4| = 7 · 4 = 28.

Вычислим (−3/5) · (10/9). Знаки разные, значит, произведение будет отрицательным. Для величины перемножаем числители и знаменатели, после чего сокращаем дробь. Получаем −30/45 = −2/3.

1. Определяем знак: отрицательная и положительная дроби дают отрицательное произведение.
2. Перемножаем числители и знаменатели: 3 · 10 = 30, 5 · 9 = 45.
3. Записываем результат со знаком: −30/45, затем делим числитель и знаменатель на 15 и получаем −2/3.

Вычислим −2/3 · (3/4 − 9/8), используя распределительное свойство. Можно сначала выполнить действие в скобках, но здесь удобно умножить −2/3 на каждое слагаемое. Первое произведение отрицательное, а второе — положительное, потому что отрицательное число умножается на отрицательное слагаемое. После сложения результатов получаем 1/2.

1. Раскрываем скобки: −2/3 · 3/4 − (−2/3 · 9/8).
2. Вычисляем первое произведение: −2/3 · 3/4 = −6/12 = −1/2.
3. Вычисляем второе: −2/3 · 9/8 = −18/24 = −3/4; перед ним в выражении стоит вычитание, значит, −(−3/4) = +3/4.
4. Складываем: −1/2 + 3/4 = −2/4 + 3/4 = 1/4.

Проверим последнее вычисление: значение выражения в скобках равно 3/4 − 9/8 = 6/8 − 9/8 = −3/8. Тогда исходное произведение равно −2/3 · (−3/8) = 6/24 = 1/4. Проверка совпала с ответом, поэтому итог верен.

Типичные ошибки

Ошибка: поставить положительный знак у множителей с разными знаками. Так происходит, если ученик перемножает только модули и забывает отдельно определить знак. Перед вычислением полезно назвать знаки множителей вслух: разные знаки означают отрицательное произведение. Затем можно проверить, не потерялся ли минус в записи ответа.

Ошибка: считать произведение двух отрицательных чисел отрицательным. Часто правило смешивают со сложением отрицательных чисел, но при умножении действуют другие правила знаков. Одинаковые знаки дают положительный результат. Для самопроверки сначала вычислите модуль, а затем проверьте, что знаки множителей совпадают.

Ошибка: при умножении дробей складывать числители или знаменатели. Это правило не подходит для умножения: числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель. Путаница возникает из-за того, что при сложении дробей действительно выполняют другие действия. Проверьте запись по схеме a/b · c/d = (a · c)/(b · d).

Ошибка: забыть, что ноль обнуляет произведение, или что единица не меняет число. Иногда пытаются продолжать вычисления, хотя среди множителей уже есть ноль, или ошибочно изменяют число при умножении на единицу. Причина — невнимательность к простым множителям в выражении. Перед вычислениями проверьте, нет ли среди них 0 или 1, и примените соответствующее правило.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно умножать рациональные числа, нужно уметь находить модуль числа, различать положительные и отрицательные числа и перемножать обыкновенные дроби. Эти знания помогают отдельно определить знак и величину результата. Умножение понадобится при вычислении значений выражений и решении уравнений. Распределительное свойство связывает эту тему с преобразованием выражений: с его помощью раскрывают скобки и упрощают вычисления.

Что запомнить

• Модули множителей перемножают, а знак результата определяют отдельно.
• Множители с одинаковыми знаками дают положительное произведение.
• Множители с разными знаками дают отрицательное произведение.
• Произведение любого числа и нуля равно нулю.
• Умножение на единицу не изменяет число.
• Для рациональных чисел выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения.