Ничто и ещё меньше

Определения и обозначения

Положительное число — это число больше нуля. Перед ним можно поставить знак «+», но обычно его не пишут: записи 5 и +5 означают одно и то же. Положительные числа нужны, когда описывают величину или изменение в выбранном направлении, например подъём температуры.

Отрицательное число — это число меньше нуля; перед ним ставят знак «−», например −4. Этот знак показывает, что число расположено по другую сторону от нуля, а не обозначает действие вычитания. Благодаря отрицательным числам можно записывать значения ниже принятой точки отсчёта.

Противоположные числа — это числа с разными знаками, одинаково удалённые от нуля. Например, 6 и −6 противоположны, потому что каждое отстоит от нуля на шесть единичных отрезков; при сложении они дают ноль: 6 + (−6) = 0. Такие пары помогают описывать равные по величине изменения в противоположных направлениях.

Координатная прямая — это прямая, на которой отмечены начало отсчёта, единичный отрезок и направление. Числу соответствует точка, положение которой показывает его значение: ноль ставят в начале, а остальные числа откладывают вправо или влево. Прямая нужна, чтобы изображать числа и сравнивать их по расположению.

Как это устроено

Натуральные числа и ноль не всегда позволяют точно описать ситуацию. Если на улице температура ниже нуля, запись одного только числа градусов не показывает, по какую сторону от нулевой отметки она находится. Знак «−» сообщает, что температура ниже нуля, а положительное число может обозначать температуру выше него. Точно так же долг удобно представить отрицательным числом: он означает не имеющиеся у человека деньги, а сумму, которую предстоит вернуть.

Чтобы расположить числа на координатной прямой, сначала отмечают ноль и выбирают единичный отрезок — расстояние, которому соответствует одна единица. От нуля вправо откладывают положительные числа, потому что это направление принимают за направление увеличения. Влево откладывают отрицательные числа: −1 находится на одну единицу левее нуля, −2 — на две. Так одна прямая показывает и значение числа, и его знак.

Например, точки 4 и −4 удалены от нуля на одинаковое расстояние, но одна находится справа, а другая слева. Такие числа называют противоположными: они показывают одинаковую величину в противоположных направлениях. При сложении их части пути взаимно компенсируются, поэтому получается ноль: 4 + (−4) = 0. По той же причине числа 7 и −7 — противоположные, а 7 и 5 — нет.

Сравнивать числа можно по точкам на прямой: правое число больше левого. Значит, точка любого отрицательного числа находится левее нуля, а точка положительного — правее, поэтому отрицательное число меньше нуля и любого положительного. Например, 2 больше −3, поскольку 2 расположено правее −3. Это правило не зависит от того, насколько далеко точки стоят друг от друга.

С отрицательными числами может показаться, что больше то, у которого цифры после знака «−» больше. Но числа −2 и −5 расположены слева от нуля, причём −2 находится ближе к нулю и правее −5. Поэтому −2 > −5: если двигаться по прямой слева направо, значения возрастают. Чем дальше отрицательное число уходит влево, тем оно меньше.

Положительные и отрицательные числа

Пользуйся таблицей, чтобы определить знак числа и его положение относительно нуля. Для сравнения сначала найди столбец, а затем представь, где число расположено на прямой. Ноль сравнивают сам с собой: он не является ни положительным, ни отрицательным.

Разбор задач

Задача 1. Запишите с помощью положительного или отрицательного числа температуру 7 градусов ниже нуля.

1. Нулевая температура служит точкой отсчёта.
2. Слова «ниже нуля» означают, что температура находится слева от нуля на координатной прямой, поэтому нужен знак «−».
3. Число градусов равно 7, значит, записываем −7.

Ответ: −7 градусов.

Задача 2. Отметьте на координатной прямой числа −3, 0 и 2 и расположите их в порядке возрастания.

1. Отметьте ноль. Единичный отрезок отложите влево три раза, чтобы найти −3, и вправо два раза, чтобы найти 2.
2. На прямой числа идут слева направо по возрастанию. Точка −3 будет левее нуля, а точка 2 — правее.
3. Запишите числа в том же порядке: сначала самое левое, затем следующие.

Ответ: −3, 0, 2.

Задача 3. Сравните числа −8 и −5, объяснив ответ с помощью координатной прямой.

1. Отметьте ноль и отложите влево восемь единичных отрезков для −8, а затем пять для −5.
2. Точка −8 окажется дальше от нуля влево, а точка −5 — правее неё.
3. На координатной прямой правое число больше, поэтому знак сравнения направлен к −5.

Ответ: −8 < −5. Хотя 8 больше 5, числа −8 и −5 сравнивают по положению на прямой, а не по цифрам без знака.

Типичные ошибки

Ошибка: считать ноль положительным или отрицательным числом. Так бывает, если воспринимать ноль просто как одно из чисел со знаком. Проверь себя: ноль стоит на границе между двумя сторонами прямой и не имеет знака «+» или «−», поэтому он не относится ни к одной из этих групп.

Ошибка: считать, что −8 больше −5, потому что 8 больше 5. Сравнивать только цифры после знака нельзя: для отрицательных чисел важны их места на прямой. Отметь числа — −8 окажется левее −5, значит, −8 меньше.

Ошибка: путать знак числа со знаком действия. В записи −4 знак перед числом указывает на отрицательное число, а в примере 7 − 4 знак между числами обозначает вычитание. Чтобы проверить себя, посмотри на запись: перед одним числом знак задаёт его значение, между числами — показывает действие.

Ошибка: называть противоположными числа с одинаковыми знаками. Противоположные числа должны находиться по разные стороны от нуля и на одинаковом расстоянии от него. Проверь пару на прямой: у 5 и −5 точки симметричны относительно нуля, а у 5 и 3 — нет.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными числами пригодятся натуральные числа, ноль и умение сравнивать числа. Координатный луч, который начинается в нуле и продолжается в одном направлении, поможет понять координатную прямую: у прямой есть ещё и направление влево, куда помещают отрицательные значения. Позже отрицательные и положительные числа войдут в рациональные числа — числа, которые можно записать в виде дроби. С ними выполняют действия и решают уравнения, в том числе находят неизвестное значение.

Что запомнить

• Положительное число больше нуля.
• Отрицательное число меньше нуля.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• На координатной прямой положительные числа расположены справа от нуля, отрицательные — слева.
• Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Противоположные числа имеют разные знаки и одинаковое расстояние от нуля.