"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
При умножении рациональных чисел можно менять множители местами и по-разному расставлять скобки: результат останется тем же. Переместительное свойство помогает изменить порядок чисел, а сочетательное — сгруппировать их удобным образом. Благодаря этому можно быстрее вычислять произведения дробей и отрицательных чисел, например сначала перемножать числа, которые дают 1 или целое число. Главное — не потерять знаки множителей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. К рациональным числам относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби. Это понятие нужно, чтобы рассматривать целые числа и дроби по общим правилам.
Произведение рациональных чисел — результат умножения этих чисел. Сначала можно определить знак результата, а затем перемножить числа без знаков: числители и знаменатели дробей умножают по правилам умножения дробей. Это определение помогает выполнять вычисления независимо от того, являются множители целыми числами или дробями.
Переместительное свойство умножения записывают так: a · b = b · a. Буквы a и b обозначают любые рациональные числа, поэтому множители можно поставить в другом порядке. Это нужно, когда после перестановки вычислять произведение становится проще.
Сочетательное свойство умножения записывают так: (a · b) · c = a · (b · c). Здесь буквы обозначают рациональные числа, а скобки показывают, какие множители вычисляют первыми. Свойство позволяет менять группировку, чтобы объединить удобные множители, не меняя порядка чисел.
Умножение рациональных чисел опирается на знакомые правила для целых чисел и дробей. У дробей отдельно перемножают числители и знаменатели, а у целых чисел умножают их модули, то есть значения без знака. Знак определяют по знакам множителей: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Например, произведение двух отрицательных чисел положительное, потому что два изменения знака взаимно компенсируются.
Переместительное свойство работает потому, что при умножении модулей порядок множителей не влияет на результат, а набор знаков остаётся тем же. Поэтому, поменяв местами два множителя, мы не меняем ни модуль произведения, ни его знак. Например, (−7/9) · 3/5 и 3/5 · (−7/9) равны. Это свойство можно применять и тогда, когда отрицательных множителей несколько.
Сочетательное свойство объясняется тем, что при перемножении нескольких чисел мы в итоге умножаем одни и те же множители. Если сначала перемножить первую пару, а затем результат умножить на третье число, получится то же самое, что при умножении второго и третьего чисел первыми. Для дробей это следует из правил умножения числителей и знаменателей, а знак в обоих случаях определяется теми же множителями. Значит, скобки можно переставлять, не меняя порядок чисел.
Оба свойства помогают выбирать удобный порядок вычислений. Сначала можно переставить множители, чтобы поставить рядом числа, которые дают 1, или числа с целым произведением, а затем сгруппировать их скобками. Например, взаимно обратные числа 4 и 1/4 дают 1, поэтому их удобно перемножить первыми. Чем меньше дробных действий остаётся после такого упрощения, тем быстрее и надёжнее получается ответ.
Для выражений с отрицательными числами сначала следи за каждым знаком, а затем выбирай порядок действий. Если переставить множители или изменить группировку, отрицательные числа никуда не исчезают и продолжают влиять на знак результата. Например, два отрицательных множителя дают положительное произведение, а три — отрицательное. Перед вычислением полезно посчитать количество минусов и проверить, что в преобразовании сохранены все множители.
| Свойство | Запись | Что позволяет делать | Пример |
|---|---|---|---|
| Переместительное свойство | a · b = b · a | Менять порядок множителей | (−2) · 5 = 5 · (−2) = −10 |
| Сочетательное свойство | (a · b) · c = a · (b · c) | Менять группировку множителей | (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 |
| Применение обоих свойств при вычислении произведения нескольких множителей | a · b · c = b · (a · c) | Переставлять и группировать множители удобным образом | (−4) · 25 · (−1/4) = ((−4) · (−1/4)) · 25 = 25 |
Сначала определи, нужно ли изменить порядок множителей: для этого используй переместительное свойство. Затем расставь скобки, чтобы сгруппировать удобные пары. В конце проверь, что ни один множитель и его знак не потеряны.
Нужно перемножить одну и ту же пару чисел в разном порядке. От перестановки результат не должен измениться, но вычислим оба произведения, чтобы проверить это. В каждом случае множители разных знаков, поэтому результат будет отрицательным.
Ответ: оба произведения равны −7/15. Перестановка множителей не изменила ни модуль, ни знак результата.
Если умножать числа строго слева направо, придётся вычислять сначала (−4) · 25. Удобнее заметить, что −4 и −1/4 — взаимно обратные числа с одинаковым знаком, поэтому их произведение равно 1. Переставим множители и сгруппируем эту пару.
Ответ: 25. Два отрицательных множителя дали положительную единицу, после чего осталось умножить на 25.
Здесь есть дроби, которые можно сократить после подходящей группировки. Сначала определим знак: отрицательных множителей два, значит произведение положительное. Переставим числа так, чтобы удобно было вычислить произведение 14/15 и −5/2, не забывая, что два минуса в исходном выражении должны дать плюс.
Ответ: 1. Группировка помогла увидеть взаимно обратные дроби, а проверка знака подтвердила, что результат положительный.
Ошибка — думать, что при перестановке множителей меняется знак произведения. Это происходит, если знак минус связывают с местом числа, а не с самим множителем. При проверке посчитай отрицательные множители до и после перестановки: их количество не изменилось, значит, не изменился и знак произведения.
Ошибка — считать, что сочетательное свойство разрешает менять порядок чисел. Оно меняет только скобки, потому что в записи (a · b) · c и a · (b · c) порядок a, b, c одинаков. Если нужно переставить множители, используй переместительное свойство; сверяй, сохранился ли их порядок или была отдельная перестановка.
Ошибка — потерять скобки или минус у отрицательного множителя при перегруппировке. Так бывает, когда в длинном выражении записывают числа без знаков или не замечают, что минус относится к дроби целиком. Перед вычислением обведи отрицательные множители и после преобразования проверь, что каждый остался в записи.
Ошибка — сокращать дроби или перемножать числа, не проверяя, какие именно множители входят в произведение. В результате можно случайно сократить числа, между которыми нет допустимого сокращения, или потерять часть выражения. Проверяй, что преобразуешь только числитель и знаменатель одного произведения и сохраняешь равенство на каждом шаге.
До изучения свойств нужно уметь умножать обыкновенные дроби и целые числа, а также определять знак произведения. Переместительное и сочетательное свойства применяются при упрощении числовых выражений и вычислении произведений нескольких рациональных чисел. Они связаны и с распределительным свойством умножения относительно сложения: оно помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель, но действует уже в выражениях с суммой.
Чем переместительное свойство отличается от сочетательного?
Переместительное свойство позволяет поменять множители местами: a · b = b · a. Сочетательное позволяет изменить только группировку: (a · b) · c = a · (b · c).
Можно ли менять порядок множителей в произведении рациональных чисел?
Да, по переместительному свойству порядок множителей можно менять, и произведение останется прежним. Это верно и для отрицательных чисел, и для дробей.
Можно ли при вычислении произведения по-разному расставлять скобки?
Да, по сочетательному свойству скобки можно расставить иначе, не меняя порядка множителей. Например, (a · b) · c = a · (b · c).
Как удобнее сгруппировать множители, чтобы упростить вычисления?
Сначала ищи пары, произведение которых легко вычислить: например, взаимно обратные числа с произведением 1 или множители, дающие целое число. Если нужно, сначала переставь числа по переместительному свойству, а затем расставь скобки по сочетательному.
Нужно ли отдельно учитывать знаки отрицательных множителей при перестановке?
Знак каждого множителя нужно учитывать при вычислении знака всего произведения. Но перестановка не меняет набор множителей, поэтому знак произведения тоже не меняется.
§ 38. Переместительное и сочетательное свойство умножения рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойство умножения рациональных чисел
