"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Распределительное свойство показывает, как умножать число на сумму или разность: множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. Благодаря этому можно раскрывать скобки, упрощать буквенные выражения и, наоборот, выносить общий множитель за скобки. Свойство помогает и считать быстрее: например, 7 · 19 удобно заменить на 7 · (20 − 1). Главное — не пропускать слагаемые и следить за знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так: a(b + c) = ab + ac. Буквы a, b и c обозначают числа, а запись ab означает произведение a и b. Равенство говорит: чтобы умножить число на сумму, можно умножить его на каждое слагаемое и сложить результаты. Такое правило помогает раскрывать скобки и считать выражения удобным способом.
Распределительное свойство относительно вычитания записывают так: a(b − c) = ab − ac. Здесь внешний множитель умножается и на уменьшаемое b, и на вычитаемое c, а между полученными произведениями остаётся знак минус. Это важно, потому что вычитаемое не становится слагаемым со знаком плюс. Правило позволяет правильно преобразовывать разности и выражения со скобками.
Раскрытие скобок — замена произведения, в котором есть скобки, суммой или разностью произведений. Например, запись 3(x + 2) можно заменить на 3x + 6. Скобки убирают, умножая внешний множитель на каждый член внутри них. Это нужно, чтобы упростить выражение или выполнить вычисления.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное действие раскрытию скобок. Например, сумму 5a + 5b можно записать как 5(a + b), потому что каждое слагаемое содержит множитель 5. В скобках остаются частные от деления слагаемых на этот общий множитель. Такой приём делает выражения короче и помогает увидеть их строение.
Равенство a(b + c) = ab + ac следует из смысла умножения: умножить сумму на число можно как сложить одинаковое число раз всю сумму. Например, если взять три группы, в каждой из которых b предметов и c предметов, то всего получится три группы по b и три группы по c. Поэтому общее количество можно посчитать двумя способами: как 3(b + c) или как 3b + 3c. Оба способа дают один результат, и это объясняет правило для любых чисел.
При умножении на разность действует та же идея, но один из частей нужно вычесть. Чтобы умножить a на b − c, сначала можно взять a копий числа b, а затем убрать a копий числа c. Значит, получается ab − ac, а не ab + ac. Знак минус сохраняется именно потому, что вычитаемое c вычитается из каждого повторения b.
При раскрытии скобок внешний множитель распределяется между всеми членами внутри них. В выражении 2(x + 4) нужно получить 2x и 8, поэтому результат равен 2x + 8. Если перед скобками стоит минус, это означает умножение на −1: например, −(x + 3) = −x − 3. При отрицательном множителе знаки каждого произведения определяются правилами умножения чисел с разными и одинаковыми знаками.
Обратное применение правила начинается с поиска общего множителя. Например, в 6x + 9 оба числовых слагаемых делятся на 3, поэтому 3 можно поставить перед скобками, а внутри записать частные: 3(2x + 3). Делить нужно каждое слагаемое, иначе после обратного раскрытия скобок получится другое выражение. Общим множителем может быть число, буква или их произведение.
Распределительное свойство помогает выбирать удобный способ вычисления. Число 19 близко к 20, поэтому произведение 7 · 19 можно представить как 7 · (20 − 1). Тогда вычисления сводятся к простым действиям: 7 · 20 − 7 · 1 = 140 − 7 = 133. Этот приём особенно полезен, когда множитель удобно представить суммой или разностью круглого числа и небольшого числа.
| Ситуация | Запись | Как применить |
|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | a(b + c) = ab + ac | Умножить внешний множитель на каждое слагаемое и сложить результаты. |
| Умножение числа на разность | a(b − c) = ab − ac | Умножить внешний множитель на оба члена, сохранив минус перед вторым произведением. |
| Раскрытие скобок с общим множителем | m(a + b) = ma + mb | Заменить произведение на сумму произведений; при разности знак вычитания сохраняется. |
| Вынесение общего множителя за скобки | ma + mb = m(a + b) | Найти общий множитель и записать в скобках частные от деления каждого слагаемого. |
Сначала определи, что требуется сделать: раскрыть скобки или вынести общий множитель. Затем проверь, что множитель учтён у каждого члена, а знаки остались правильными. Для проверки вынесения можно раскрыть скобки в ответе.
Ответ: 138.
Ответ: 13x − 12.
Ответ: 6(3a − 4b).
Первая ошибка — умножить внешний множитель только на первое слагаемое. Так часто делают, потому что замечают ближайший к множителю член и забывают о втором. Например, 3(a + 2) нельзя превращать в 3a + 2: число 2 тоже нужно умножить на 3. Проверь, что после раскрытия скобок появилось столько произведений, сколько было членов внутри.
Вторая ошибка — потерять минус при раскрытии скобок с разностью или перед скобками. Это случается, когда знаки воспринимают как часть оформления, а не как указание на действие. Например, 4(x − 3) = 4x − 12, а −(x − 3) = −x + 3. Для проверки отдельно перемножь внешний множитель с каждым членом, включая его знак.
Третья ошибка — при вынесении общего множителя разделить на него не все слагаемые или неверно записать частное в скобках. Например, если вынести 6 из 18a − 24b, внутри должны стоять 3a и −4b. Проверь ответ обратным раскрытием: каждый член в скобках умножается на 6, и исходные слагаемые должны восстановиться.
Четвёртая ошибка — считать, что распределительное свойство позволяет перемножать слагаемые друг с другом. Правило относится к умножению числа на сумму или разность: множитель умножается на каждый член. Оно не превращает a(b + c) в ab + ac по принципу умножения b на c; вместо этого получаются ab и ac. Чтобы проверить смысл записи, посмотри, какой множитель стоит перед скобками и какие действия выполняются внутри.
Для работы со свойством нужно уметь умножать и делить натуральные, целые и дробные числа, правильно учитывать знаки, а также приводить подобные слагаемые. Эти умения помогают раскрывать скобки и упрощать буквенные выражения. Распределительное свойство применяется и при обычных вычислениях, когда число удобно представить суммой или разностью. Вынесение общего множителя пригодится дальше при разложении многочленов на множители и решении уравнений.
Почему число перед скобками умножают на каждое слагаемое?
Потому что умножение числа на сумму равносильно сложению произведений этого числа на каждое слагаемое. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Если умножить только на первое слагаемое, часть суммы не будет учтена.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножь внешний множитель на оба выражения внутри скобок и сохрани знак вычитания: a(b − c) = ab − ac. Например, 5(7 − 2) = 5 · 7 − 5 · 2.
Что делать, если перед скобками стоит минус?
Минус перед скобками можно понимать как умножение на −1. Поэтому при раскрытии скобок каждый знак внутри меняется на противоположный: −(a + b) = −a − b, а −(a − b) = −a + b.
Как определить, какой множитель можно вынести за скобки?
Найди число или буквенную часть, которая есть в каждом слагаемом. Раздели на неё каждое слагаемое и запиши полученные частные в скобках. Например, в 18a − 24b общий числовой множитель — 6.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Раскрой скобки в полученном выражении обратным действием и сравни результат с исходной записью. Если каждое слагаемое и его знак восстановились, преобразование выполнено верно. Для числовых выражений можно также отдельно вычислить обе записи.
§ 39. Распределительное свойство умножения
