§ 40. Деление рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — целое ненулевое число. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби, а также конечные и периодические десятичные дроби. Например, 4 = 4/1, а 0,75 = 3/4. Это определение помогает записывать числа разного вида как дроби и применять к ним общие правила вычислений.

Деление рациональных чисел — действие, обратное умножению: частное a : b — это число, произведение которого на b равно a. Число a называют делимым, а b — делителем; делитель не может быть равен нулю. Например, 12 : 3 = 4, потому что 4 · 3 = 12. Такое понимание позволяет проверять деление умножением.

Обратное число — число, произведение которого с данным числом равно 1. Для ненулевой дроби m/n обратным будет n/m: например, обратное к 2/3 — это 3/2. Нулю обратное число подобрать нельзя, поскольку произведение нуля на любое число равно нулю. Обратное число нужно, чтобы заменять деление умножением.

Частное чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными знаками — отрицательно. Например, при делении двух отрицательных чисел получается положительный результат, а при делении отрицательного на положительное — отрицательный. Это правило знака действует и для целых чисел, и для дробей. После определения знака остаётся разделить модули чисел.

Как это устроено

Равенство a : b = c означает, что c · b = a. Поэтому деление помогает найти неизвестный множитель: если нужно вычислить 15 : 3, ищем число, которое при умножении на 3 даёт 15. Это число — 5. Такое объяснение связывает деление с уже знакомым действием умножения и позволяет проверить результат.

Пусть нужно разделить a на ненулевое b. Число 1/b обратное к b, поэтому b · 1/b = 1. Умножение a на 1/b даёт число, которое при умножении на b возвращается к a: (a · 1/b) · b = a. Значит, a : b = a · 1/b, то есть делимое оставляют, а делитель заменяют обратным числом.

Знак частного следует из связи деления с умножением. Если знаки делимого и делителя одинаковые, то для получения делимого нужно умножить частное на делитель с тем же знаком; модули дают положительный результат. Если знаки разные, произведение чисел с такими знаками отрицательно, поэтому и частное должно быть отрицательным. Так правило знаков для деления согласуется с правилом знаков для умножения.

Целые числа можно записать дробями со знаменателем 1, например, −6 = −6/1. Десятичную дробь тоже можно представить обыкновенной: 0,4 = 4/10 = 2/5. После таких преобразований используют общий алгоритм: определяют знак, делимое умножают на обратное делителю и, если можно, сокращают дробь. Для десятичных дробей это позволяет не путаться с запятыми.

Деление на 1 оставляет число без изменения, потому что число, умноженное на 1, не меняется. При делении на −1 знак числа меняется: например, 7 : (−1) = −7. Нуль, разделённый на ненулевое число, равен нулю, поскольку 0 · b = 0. На нуль делить нельзя: ни одно число при умножении на нуль не даст ненулевое делимое, а у самого нуля нет обратного числа.

Деление рациональных чисел

Сначала найди в таблице нужный случай и проверь, не равен ли делитель нулю. Затем определи знак результата и выбери способ вычисления. Для дробей не забудь перевернуть только делитель.

Разбор задач

Вычислите −42 : 7.

Сначала сравним знаки: делимое отрицательное, а делитель положительный, значит, частное будет отрицательным. Теперь разделим модули чисел, то есть 42 на 7. В конце поставим перед результатом минус.

1. Числа имеют разные знаки, поэтому знак частного — минус.
2. Разделим модули: 42 : 7 = 6.
3. Объединим знак и модуль: −42 : 7 = −6.

Ответ: −6. Проверка: −6 · 7 = −42, значит, частное найдено верно.

Вычислите 3/5 : (−9/10).

Делимое положительное, а делитель отрицательный, поэтому ответ будет отрицательным. Заменим деление умножением на число, обратное делителю: к дроби −9/10 обратной будет −10/9. После умножения сократим общие множители.

1. Определим знак частного: знаки разные, значит, результат отрицательный.
2. Заменим деление: 3/5 : (−9/10) = 3/5 · (−10/9).
3. Сократим 3 и 9 на 3, а 10 и 5 на 5: получим −1 · 2/3 = −2/3.

Ответ: −2/3. Проверка: (−2/3) · (−9/10) = 18/30 = 3/5, то есть при умножении частного на делитель получаем делимое.

Вычислите (−2,4) : 0,6 + 5/8 : (−1 1/4).

Сначала выполняем оба деления, затем складываем полученные числа. Десятичные дроби удобно заменить обыкновенными, а смешанное число — неправильной дробью. Так легче контролировать знаки и сокращать результат.

1. Преобразуем числа: −2,4 = −24/10 = −12/5, 0,6 = 6/10 = 3/5, а −1 1/4 = −5/4.
2. Первое деление: (−12/5) : (3/5) = (−12/5) · (5/3) = −4.
3. Второе деление: 5/8 : (−5/4) = 5/8 · (−4/5) = −1/2.
4. Сложим результаты: −4 + (−1/2) = −4 1/2.

Ответ: −4 1/2. Оба частных отрицательные, поскольку в каждом делении числа имеют разные знаки. При сложении отрицательных чисел складываем их модули и сохраняем знак минус.

Типичные ошибки

Иногда делитель заменяют противоположным числом: например, вместо обратного к 2/3 берут −2/3 или меняют знак. Противоположное число в сумме с исходным даёт нуль, а обратное при умножении даёт 1 — это разные свойства. Ошибку допускают, путая слова «обратное» и «противоположное». Проверь себя умножением: правильное обратное должно дать 1.

При делении дробей могут перевернуть обе дроби или поменять местами делимое и делитель. Но обратным заменяют только делитель: a/b : c/d = a/b · d/c. Ошибка возникает, когда запоминают действие «перевернуть дробь», не уточняя, какую именно. Перед вычислением запиши знак умножения и обратную дробь только вместо делителя.

Некоторые определяют знак частного по правилу сложения чисел с разными знаками. При делении знак зависит не от сравнения модулей, а только от того, одинаковы ли знаки делимого и делителя. Такая путаница появляется потому, что оба правила используют слова «одинаковые» и «разные знаки». Проверь знак отдельно до вычисления: одинаковые дают плюс, разные — минус.

Нельзя делить на нуль или находить обратное число нуля. Иногда ошибку допускают, считая, что результатом может быть любое число, ведь нуль умножается на любое число. Но произведение с нулём всегда равно нулю и не может дать ненулевое делимое. Проверяй делитель до начала вычислений: если он равен нулю, действие не определено.

Связь с другими темами

Для деления рациональных чисел нужны навыки умножения и деления целых чисел, а также умение определять знаки. При вычислениях с дробями пригодятся сокращение дробей, поиск обратной дроби и перевод смешанного числа в неправильную дробь. Эти действия позволяют выполнить деление без лишних преобразований.

Деление понадобится при решении уравнений, когда нужно найти неизвестный множитель, и при вычислении значений выражений. Оно также используется при изучении отношений и пропорций: там часто сравнивают величины с помощью частного. Уверенное владение правилом деления помогает переходить от целых чисел к более сложным задачам.

Что запомнить

• Деление на число — умножение на обратное ему число.
• Делить можно только на число, отличное от нуля.
• При делении чисел одного знака частное положительно.
• При делении чисел разных знаков частное отрицательно.
• Чтобы разделить одну дробь на другую, умножают делимое на дробь, обратную делителю.
• Нуль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• На нуль делить нельзя.