7.7. Деление рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — это целое число, обыкновенная дробь или конечная либо периодическая десятичная дробь. Например, −3, 2/5 и 0,75 — рациональные числа. Это понятие объединяет числа, с которыми мы выполняем действия в этой теме. Поэтому деление будет относиться и к дробям, и к десятичным числам, и к отрицательным числам.

Деление рациональных чисел — действие, обратное умножению. Если известно произведение и один из множителей, деление помогает найти второй множитель. Например, деление 12 на 3 отвечает на вопрос, какое число при умножении на 3 даёт 12. Так можно находить неизвестные значения и решать уравнения.

Частное двух рациональных чисел — число, которое при умножении на делитель даёт делимое. В записи a : b число a называют делимым, b — делителем, а результат — частным. Например, в равенстве 12 : 3 = 4 число 4 при умножении на 3 даёт 12. Это определение помогает проверять деление умножением.

Как это устроено

Деление определяют через умножение, потому что эти действия возвращают друг друга: умножением можно проверить найденное частное. Для записи a : b ищут такое число, которое при умножении на b даст a. Делитель b должен быть ненулевым. Если делитель равен нулю, произведение любого числа на него равно нулю, поэтому ненулевое делимое получить нельзя, а при делимом 0 подходило бы любое число.

Чтобы разделить два положительных рациональных числа, можно отдельно воспользоваться правилами для дробей или десятичных дробей. При делении обыкновенной дроби на ненулевую дробь делимое умножают на дробь, обратную делителю. Например, 3/5 : 2/7 = 3/5 · 7/2. Десятичные дроби можно преобразовать так, чтобы делитель стал целым, а затем выполнить обычное деление.

Знак частного зависит от знаков обоих чисел. Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, частное положительное: при умножении двух чисел одинаковых знаков получается положительное число. Если знаки разные, частное отрицательное, ведь произведение чисел разных знаков отрицательно. Поэтому нельзя определять знак результата только по делимому.

Деление рациональных чисел удобно сводить к делению положительных чисел. Сначала сравнивают знаки делимого и делителя и решают, будет ли частное положительным или отрицательным. Затем делят модули чисел, то есть их расстояния от нуля, не учитывая знаки. В конце ставят перед результатом знак, который определили на первом шаге.

Деление ненулевого рационального числа на рациональное число, отличное от нуля, снова даёт рациональное число. Для дробей это видно из правила: деление заменяется умножением на обратную дробь, а произведение рациональных чисел рационально. Для десятичных дробей действие также можно свести к делению целых чисел или обыкновенных дробей. Значит, результат остаётся в том же множестве чисел.

Знак частного рациональных чисел

Найди строку, в которой знаки делимого и делителя совпадают с твоим примером. Она подскажет знак частного, но не его модуль. После этого раздели модули чисел и поставь перед ответом нужный знак.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 3/5 : 2/7. Здесь делимое и делитель положительные, поэтому результат будет положительным. Для вычисления дробей применим правило деления на дробь. Обратной заменим только делитель.

1. Записываем деление как умножение: 3/5 : 2/7 = 3/5 · 7/2.
2. Перемножаем числители и знаменатели: 3 · 7 / (5 · 2) = 21/10.
3. Проверяем, можно ли сократить дробь: 21 и 10 общих делителей, кроме 1, не имеют.

Ответ: 21/10, или 2 1/10. Если умножить результат на делитель 2/7, получится 3/5, значит, деление выполнено верно.

Задача 2. Вычислите (−4,2) : 1,4. Делимое отрицательное, а делитель положительный, значит, частное будет отрицательным. Сначала разделим модули чисел. Чтобы делитель стал целым, перенесём запятую в обоих числах на один разряд вправо.

1. Определяем знак: у чисел разные знаки, поэтому результат отрицательный.
2. Умножаем делимое и делитель на 10: (−4,2) : 1,4 = (−42) : 14.
3. Делим модули: 42 : 14 = 3, затем возвращаем знак минус.

Ответ: −3. Проверка умножением: −3 · 1,4 = −4,2. Значит, найденное число действительно является частным.

Задача 3. Найдите x, если x : (−3/4) = 2,4. Здесь нужно найти делимое, а известны частное и делитель. По смыслу деления частное, умноженное на делитель, равно делимому. Поэтому неизвестное x найдём умножением.

1. Записываем связь между делением и умножением: x = 2,4 · (−3/4).
2. Представляем десятичную дробь обыкновенной: 2,4 = 24/10 = 12/5.
3. Вычисляем произведение: 12/5 · (−3/4) = −36/20 = −9/5 = −1,8.

Ответ: x = −1,8. Проверка: −1,8 : (−3/4) = 2,4. При проверке отрицательные знаки сокращаются, поэтому результат положительный.

Типичные ошибки

При делении дробей иногда меняют местами делимое и делитель, когда переходят к умножению. Так делать нельзя: на обратную дробь заменяют только делитель, а делимое оставляют без изменений. Ошибку допускают, потому что обе дроби выглядят одинаково важными в записи. Проверь себя: в выражении a/b : c/d должно получиться a/b · d/c.

Ещё одна ошибка — определять знак частного только по знаку делимого. Результат зависит и от делителя: числа одинаковых знаков дают положительное частное, разных — отрицательное. Чтобы не ошибиться, перед вычислениями отдельно запиши знаки обоих чисел. Затем проверь, соответствует ли знак ответа этому правилу.

Нельзя считать, что у нуля есть обратное число. Если бы существовало число, обратное нулю, его произведение на ноль должно было бы равняться единице, но любое такое произведение равно нулю. Поэтому деление на ноль не определено. Перед вычислением всегда проверь, что делитель не равен нулю.

При делении десятичных дробей ошибаются, если переносят запятую только в делимом или только в делителе. Чтобы значение частного не изменилось, оба числа умножают на одну и ту же степень 10. Например, в 4,2 : 1,4 запятую переносят на один разряд в обоих числах. Проверь, что у делителя после переноса запятая исчезла и число разрядов изменилось одинаково.

Связь с другими темами

Для деления рациональных чисел нужны правила умножения, понятие модуля и умение выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Модуль помогает сначала разделить положительные значения чисел, не отвлекаясь на знаки. Деление пригодится при решении уравнений и поиске неизвестного множителя. Оно также помогает вычислять значения выражений, если в них есть дробные или отрицательные числа.

Что запомнить

• Деление — действие, обратное умножению.
• На ноль делить нельзя.
• Чтобы разделить дробь на ненулевую дробь, умножают делимое на дробь, обратную делителю.
• Частное чисел с одинаковыми знаками положительно.
• Частное чисел с разными знаками отрицательно.
• При делении десятичных дробей можно умножить делимое и делитель на одну и ту же степень числа 10.