7.8. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость, на которой положение точки задают с помощью двух чисел. Она нужна, чтобы точно указать, где находится точка, и отличить её от других. Каждой точке соответствует своя пара чисел, записанная в установленном порядке.

Координатные оси — две перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, а числовые деления на них помогают измерять расстояния. По горизонтальной оси определяют движение вправо и влево, по вертикальной — вверх и вниз.

Начало координат — точка пересечения осей; её координаты — (0; 0). От неё начинают отсчитывать значения по обеим осям, поэтому нули на прямых совмещены. Эта точка служит общей отправной точкой для построения и определения координат.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y): первое число задаёт положение по оси абсцисс, второе — по оси ординат. Число x называют абсциссой, а y — ординатой. Порядок нужен, чтобы по записи было понятно, сколько пройти по горизонтали и сколько — по вертикали.

Как это устроено

Чтобы получить координатную плоскость, две числовые прямые располагают перпендикулярно и совмещают их нули. Перпендикулярное расположение позволяет разделить движение на горизонтальное и вертикальное направления: каждое число отвечает только за одно из них. Общий ноль нужен, чтобы оба отсчёта начинались из одной точки, иначе пары чисел не задавали бы положение относительно единого начала.

Координаты записывают сначала как абсциссу, затем как ординату: (x; y). Такой порядок связывает первое число с горизонтальной осью, а второе — с вертикальной. Если поменять числа местами, изменится расстояние по каждой оси, поэтому точка, как правило, окажется в другом месте. Например, (3; 2) означает три единицы вправо и две вверх, а (2; 3) — две вправо и три вверх.

Чтобы построить точку по заданной паре, сначала найди на горизонтальной оси значение абсциссы и отложи его от начала координат. От этой позиции двигайся параллельно вертикальной оси на число единиц, указанное ординатой. Так оба числа учитываются по очереди, а конец второго перемещения и будет искомой точкой. Например, при положительной абсциссе двигайся вправо, а при положительной ординате — вверх.

Чтобы определить координаты отмеченной точки, мысленно проведи через неё линии, параллельные осям. Линия, параллельная вертикальной оси, покажет значение на горизонтальной оси — это абсцисса; линия, параллельная горизонтальной, покажет ординату. Такой способ разделяет положение точки на два независимых отсчёта. Перед записью проверь, от какого нуля считаются деления и сколько единиц соответствует одному промежутку.

Знаки координат зависят от того, в какую сторону точка расположена от каждой оси. Справа от вертикальной оси значения x положительные, слева — отрицательные; выше горизонтальной оси значения y положительные, ниже — отрицательные. Поэтому для определения знаков достаточно сначала посмотреть на положение точки по горизонтали, а затем по вертикали. Если точка лежит прямо на одной из осей, соответствующая координата равна нулю.

Расположение точки и знаки её координат

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, где находится точка относительно осей, а затем найди эту часть плоскости в первом столбце. Четверти нумеруют от верхней правой части против часовой стрелки. На оси точка не относится ни к одной четверти, потому что одна её координата равна нулю.

Разбор задач

Задача. Построить на координатной плоскости точку A(3; 2). Здесь абсцисса равна 3, а ордината — 2, поэтому обе координаты положительные. Значит, точка будет справа и выше начала координат.

1. Найди начало координат (0; 0), от которого ведётся отсчёт.
2. По горизонтальной оси отложи 3 единицы вправо и мысленно проведи через это место линию вверх.
3. От полученного положения поднимись на 2 единицы параллельно вертикальной оси и отметь точку A.

Ответ: точка A(3; 2) находится в I четверти. При построении сначала использована абсцисса, затем ордината, поэтому порядок координат не перепутан.

Задача. Определить координаты точки B, если от начала координат нужно пройти 4 единицы влево и 2 единицы вниз. Влево от нуля по горизонтальной оси идут отрицательные значения, а вниз по вертикальной — тоже отрицательные. Значит, обе координаты будут со знаком минус.

1. Запиши горизонтальное перемещение первым: 4 единицы влево дают абсциссу −4.
2. Запиши вертикальное перемещение вторым: 2 единицы вниз дают ординату −2.
3. Объедини значения в пару, соблюдая порядок (x; y).

Ответ: B(−4; −2). Проверка по знакам показывает, что точка расположена слева и ниже начала координат, то есть в III четверти.

Задача. Построить точки C(−3; 2), D(−3; −2), E(3; −2), F(3; 2) и определить, какую фигуру они образуют. В координатах C и D одинаковая абсцисса, поэтому они лежат на одной вертикали; у E и F абсцисса тоже общая. Аналогично, пары C–F и D–E имеют одинаковые ординаты и лежат на горизонталях.

1. Построй каждую точку: сначала отложи её абсциссу по горизонтали, затем ординату по вертикали.
2. Соедини точки по порядку C–D–E–F–C. Координаты соседних точек отличаются только одной координатой, поэтому стороны идут вдоль осей и образуют прямые углы.
3. Сравни длины сторон: вертикальные стороны имеют длину 4 единицы, горизонтальные — 6 единиц. Противоположные стороны равны, значит, полученный четырёхугольник — прямоугольник.

Ответ: точки образуют прямоугольник. Его вершины расположены симметрично относительно начала координат, а стороны параллельны координатным осям.

Типичные ошибки

Первая ошибка — менять местами абсциссу и ординату. Её допускают, когда забывают, что координаты являются упорядоченной парой, а не просто двумя числами. Проверяй себя: в записи (x; y) первое число должно соответствовать горизонтальному перемещению, а второе — вертикальному.

Вторая ошибка — откладывать отрицательное число в положительном направлении. Это случается, если смотреть только на число и не учитывать его знак. Сначала определи направление от нуля: минус для абсциссы означает влево, для ординаты — вниз; затем проверь, в какой четверти должна оказаться точка.

Третья ошибка — считать деления не от начала координат или принимать любой промежуток между соседними отметками за единицу. Так можно получить неправильное значение даже при верном направлении. Найди ноль, проверь подписанные числа и установи, сколько единиц приходится на промежуток, прежде чем строить точку.

Четвёртая ошибка — путать оси и считывать абсциссу по вертикали, а ординату по горизонтали. Такое происходит, если не запомнить названия осей. Проведи через точку линии, параллельные осям, и проверь: абсцисса считывается на горизонтальной оси, ордината — на вертикальной.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужно уметь обращаться с положительными и отрицательными числами и откладывать их на числовой прямой. Эти навыки помогают правильно выбирать направление и расстояние от нуля. Если они вызывают затруднения, полезно сначала потренироваться отмечать числа на прямой.

Координатная плоскость пригодится при построении графиков зависимостей: по координатам можно отмечать значения и видеть, как они связаны. В геометрии координаты помогают задавать положение точек и исследовать фигуры. Умение читать пары чисел становится способом переходить от записи к рисунку и обратно.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Абсцисса x отсчитывается по горизонтальной оси.
• Ордината y отсчитывается по вертикальной оси.
• Оси пересекаются в начале координат (0; 0).
• Положительные значения откладывают вправо и вверх, отрицательные — влево и вниз.
• Если одна координата равна нулю, точка лежит на соответствующей оси.