7.9. Симметрия относительно прямой

Определения и обозначения

Симметрия относительно прямой — это отражение точек и фигуры относительно выбранной прямой. Точка и её образ лежат по разные стороны прямой и находятся от неё на одинаковом расстоянии. Такое отражение напоминает зеркало: прямая служит его краем. Это понятие помогает описывать расположение частей фигуры и строить её отражение.

Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура симметрична сама себе, то есть совпадает со своим отражением. Если мысленно сложить фигуру по этой прямой, её части совпадут. Знание оси позволяет быстро распознавать симметричные фигуры и проверять, одинаково ли расположены их части.

Две точки называют симметричными относительно прямой, если отрезок между ними перпендикулярен этой прямой, а прямая делит отрезок пополам. Значит, прямая проходит через середину отрезка под прямым углом. По этому признаку можно проверить, действительно ли одна точка является отражением другой.

Фигура, симметричная данной относительно прямой, состоит из образов всех точек исходной фигуры. Образ каждой точки строится по одному правилу, поэтому отражается не только контур, но и все точки внутри фигуры. Это определение нужно, чтобы понимать, что при отражении получается целая фигура, а не только набор отдельных вершин.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной, сначала проведи через неё перпендикуляр к оси. Перпендикуляр нужен потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется именно по направлению под прямым углом. Отметь место пересечения с осью, измерь расстояние от исходной точки до него и отложи такую же длину по другую сторону. Полученная точка будет образом: обе точки равно удалены от оси.

Если точка лежит на оси, она при отражении не перемещается. Перпендикуляр от неё до оси имеет длину ноль, поэтому на другой стороне нельзя отложить ненулевое расстояние. Иначе точка оказалась бы не на самой оси, а значит, её положение изменилось бы. Поэтому каждая точка оси является своим собственным образом.

Чтобы построить симметричную фигуру, найди образы её характерных точек — например, вершин многоугольника. Для каждой вершины отдельно проведи перпендикуляр к оси и отложи равное расстояние с другой стороны. Затем соедини образы в том же порядке, в каком были соединены исходные вершины. Такой порядок сохраняет соответствие сторон и не даёт случайно получить другую фигуру.

При отражении сохраняются длины отрезков и величины углов. Каждая точка переходит в положение на другой стороне оси, но расстояния между любыми двумя точками остаются прежними: отражение меняет расположение, а не размер фигуры. Поэтому соответствующие стороны равны, а соответствующие углы имеют одинаковую величину. Фигура может оказаться перевёрнутой относительно оси, но не становится больше или меньше.

Проверить симметрию можно мысленным сгибанием плоскости по предполагаемой оси: точки и части фигуры по разные стороны должны совпасть. Такой способ удобен для рисунка, но для точной проверки можно рассмотреть пары соответствующих точек. У каждой пары отрезок должен быть перпендикулярен прямой, а его середина — лежать на ней. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, прямая не является осью симметрии.

Симметрия относительно прямой: основные признаки и построения

Сначала выбери в таблице то, что требуется построить или проверить, затем выполни действие из второго столбца. Последний столбец подсказывает, каким должен быть результат и по какому признаку его проверить. Для точек и фигур вне оси особенно важно контролировать прямой угол и равные расстояния.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге дана точка A и вертикальная прямая l. Постройте точку, симметричную A относительно l. Поскольку прямая вертикальная, перпендикуляр к ней будет горизонтальным. Значит, расстояние нужно считать по горизонтали, а не по диагонали или вертикали.

1. Из точки A проведи горизонтальную линию до пересечения с прямой l.
2. Посчитай число клеток от A до l по этой линии.
3. От точки пересечения отложи столько же клеток вправо от l, если A слева, или влево, если A справа; обозначь конец B.

Ответ: точка B — образ точки A относительно l. Проверь построение: отрезок AB горизонтален, а прямая l проходит через его середину. Поэтому расстояния от A и B до l равны.

Задача 2. Постройте треугольник, симметричный данному треугольнику ABC относительно прямой l. У треугольника достаточно отразить вершины, потому что стороны соединяют их попарно. Каждую вершину нужно отразить независимо, сохраняя её расстояние до прямой.

1. Через A, B и C проведи перпендикуляры к l.
2. На другой стороне l отметь точки A′, B′ и C′ так, чтобы расстояние от каждой новой точки до l было равно расстоянию соответствующей исходной вершины.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ — в том же порядке, что и исходные вершины.

Ответ: треугольник A′B′C′ симметричен ABC относительно l. Проверь, что l делит каждый отрезок AA′, BB′ и CC′ пополам под прямым углом. Равенство соответствующих сторон подтвердит, что размеры треугольника не изменились.

Задача 3. На рисунке изображён четырёхугольник. Определите, является ли указанная прямая его осью симметрии, и обоснуйте ответ. Одного внешнего сходства частей недостаточно: у каждой точки должен быть соответствующий образ на другой стороне. Удобно начать с вершин, а затем проверить, совпадают ли при отражении стороны фигуры.

1. Выбери вершины четырёхугольника и найди для каждой предполагаемую пару по другую сторону прямой.
2. Проверь, что соединяющие парные точки отрезки перпендикулярны прямой и делятся ею пополам.
3. Мысленно сложи фигуру по прямой и сравни её части; проверь, что соответствующие стороны и контур совпадают.

Ответ: прямая является осью симметрии, если все парные точки и части фигуры совпадают при отражении. Если для какой-либо точки образа нет на нужном расстоянии или части не совмещаются, указанная прямая осью не является. Такой вывод подтверждается не приблизительной похожестью, а проверкой соответствующих точек.

Типичные ошибки

Ошибка: откладывать расстояние до оси не по перпендикуляру. Тогда образ оказывается в другом направлении, а прямая не проходит через середину отрезка между точками под прямым углом. Так бывает, если ориентироваться на наклонную клеточную диагональ или на удобное направление. Проверь себя: соедини исходную точку с образом и убедись, что этот отрезок перпендикулярен оси.

Ошибка: отложить от оси другое расстояние. В этом случае точка и предполагаемый образ находятся от прямой на разном удалении, поэтому отражения не получится. Часто длину считают не от точки пересечения перпендикуляра с осью, а от другого места. Проверь, что ось проходит через середину отрезка между точкой и образом.

Ошибка: считать, что точка на оси перемещается при отражении. Иногда правило «перенести на другую сторону» применяют ко всем точкам без исключения. Но у точки на оси расстояние до неё равно нулю, так что её образ — та же точка. Проверь положение: если точка лежит на оси, отметь её образ точно там же.

Ошибка: соединять образы вершин в неправильном порядке. Тогда стороны могут пересечься или полученная фигура будет не соответствовать исходной. Это случается, если сначала соединять просто ближайшие точки, не учитывая, какие вершины были соседними. Проверь порядок по исходному контуру: если были стороны AB, BC и CA, соединяй A′B′, B′C′ и C′A′.

Связь с другими темами

Для построений симметричных точек нужны навыки измерять и откладывать расстояния, проводить перпендикулярные прямые и находить середину отрезка. Эти действия помогают точно расположить образ, а не только приблизительно нарисовать его. Если уметь проверять прямой угол и равные части отрезка, построение можно обосновать геометрически. Такие же навыки используются и в других задачах на построение.

Симметрия пригодится при изучении геометрических фигур, построений и свойств фигур, имеющих оси симметрии. С её помощью можно определять, совпадают ли части фигуры при отражении, и находить её характерные свойства. Умение строить отражение также помогает видеть связь между положением фигуры и сохранением её размеров.

Что запомнить

• Образы точки и её отражения лежат на перпендикуляре к оси.
• Ось делит отрезок между точкой и её образом пополам.
• Точка на оси при отражении не меняет положения.
• При отражении сохраняются длины отрезков и величины углов.
• Чтобы отразить фигуру, достаточно построить образы её вершин и соединить их в прежнем порядке.