"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой: рациональные и иррациональные. Рациональные записываются обыкновенной дробью, а иррациональные — нет; их десятичная запись бесконечна и не повторяется периодами. Числовая прямая помогает сравнивать такие числа и видеть, где они находятся. Эти понятия нужны для работы с корнями, приближёнными вычислениями и координатами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 3 = 3/1, а −2/5 уже записано как такая дробь. Это определение позволяет объединить в одну группу целые числа, обыкновенные дроби и многие десятичные дроби.
Иррациональное число нельзя представить обыкновенной дробью с целыми числителем и знаменателем. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: цифры продолжаются без конца и не повторяются постоянными группами. Например, √2 — иррациональное число; это понятие нужно, чтобы описывать числа, которые не выражаются отношением целых чисел.
Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Значит, к действительным относятся и 5, и ½, и √2. Это общее название помогает рассматривать все числа, которым можно поставить в соответствие точку числовой прямой.
Числовая прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, направлением и единичным отрезком. Каждому действительному числу соответствует единственная точка прямой, и каждой точке соответствует единственное действительное число. Благодаря этому числа можно изображать точками и сравнивать по их положению.
Десятичная запись показывает, к какому виду относится число. У рационального числа она либо заканчивается, как у 0,125, либо продолжается с повторяющимся периодом, как у 0,333…; это связано с тем, что при делении целых чисел остатки могут повторяться. У иррационального числа запись не заканчивается и не становится периодической. Поэтому одной только бесконечности недостаточно, чтобы назвать число иррациональным.
Дроби рациональны по самому определению: их числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Целое число можно записать дробью со знаменателем 1, например −4 = −4/1. Натуральные числа тоже целые, поэтому подходят под ту же запись. Даже десятичная дробь с конечным числом знаков превращается в обыкновенную: 0,125 = 125/1000.
Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел: если число нельзя представить дробью из целых чисел, оно относится к иррациональным, а если можно — к рациональным. На числовой прямой нет промежутков, которые не соответствовали бы действительным числам. Между двумя разными точками можно найти другие точки, а значит, и другие числа; например, между 1 и 2 находится √2. Поэтому числа не делятся на отдельные участки, разделённые пустотами.
Чтобы расположить действительные числа на прямой, отметьте сначала ноль и выберите единичный отрезок. Положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева; чем правее точка, тем больше соответствующее число. Например, −1,5 левее нуля, а 2 правее него, поэтому −1,5 < 0 < 2. Это правило помогает сравнивать числа, даже если они имеют разные знаки.
Иррациональное число часто заменяют конечным десятичным приближением, чтобы оценить его положение или выполнить вычисление. Например, √2 ≈ 1,414, поэтому для грубого сравнения можно использовать 1,414. Знак ≈ означает «приблизительно равно», а не точное равенство: после записанных цифр у √2 есть продолжение. Чем больше верных знаков приближения, тем точнее оценка, но конечная запись всё равно не становится самим иррациональным числом.
| Вид числа | Как распознать | Десятичная запись | Примеры |
|---|---|---|---|
| Рациональное число | Можно записать как m/n, где m и n — целые, n ≠ 0 | Конечная или бесконечная периодическая | 4; −3/5; 0,125; 0,333… |
| Иррациональное число | Нельзя представить дробью из целых чисел | Бесконечная и непериодическая | √2; √3 |
| Действительное число | Рациональное или иррациональное | Конечная, периодическая или бесконечная непериодическая | −2; 1/3; √2 |
Сначала проверьте, можно ли представить число отношением целых чисел: так распознают рациональные числа. Затем посмотрите на десятичную запись, если она дана: повторяющийся период означает рациональное число. Действительное число может относиться к любому из двух видов.
Задача 1. Определите, какие из чисел 4, −3/5 и 0,125 являются рациональными, и запишите каждое в виде дроби. Удобно проверить для каждого числа, можно ли получить отношение целых чисел. Конечную десятичную дробь нужно записать как дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.
Во всех случаях получилась дробь с целыми числителем и знаменателем, причём знаменатель не равен нулю. Значит, каждое из трёх чисел рационально. Ответ: 4 = 4/1, −3/5 = −3/5, 0,125 = 1/8.
Задача 2. Сравните √2 и 1,4, используя приближение √2 ≈ 1,414. Сравнивать точное иррациональное число с десятичной дробью напрямую непросто, поэтому используем приближение, которое достаточно точно показывает его положение. Нужно сохранить смысл знака приближения.
Из сравнения следует √2 > 1,4. При этом мы не утверждаем, что √2 равно 1,414: это число использовано только для сравнения. Ответ: √2 > 1,4.
Задача 3. Расположите на числовой прямой числа −1,5, 0, √2 и 2; укажите, между какими целыми числами находится √2. Сначала определим, где находится корень, а затем расставим числа слева направо. Для √2 используем факт 1² < 2 < 2², откуда 1 < √2 < 2.
Порядок точек слева направо такой: −1,5; 0; √2; 2. Корень √2 находится между целыми числами 1 и 2. Ответ: −1,5 < 0 < √2 < 2 и 1 < √2 < 2.
Ошибка: считать любую бесконечную десятичную запись иррациональной. Так ошибаются, потому что путают бесконечность записи с отсутствием периода: например, 0,333… не заканчивается, но повторяет цифру 3. Проверьте, есть ли повторяющаяся группа цифр. Если десятичная запись периодическая, число рационально.
Ошибка: принимать конечное приближение за точное значение, например считать √2 = 1,414. Записанные цифры лишь показывают оценку, а десятичная запись корня продолжается. Проверьте знак между числами: для приближения используют ≈, не =. Значит, √2 ≈ 1,414, но √2 ≠ 1,414.
Ошибка: считать рациональные числа всеми действительными числами. Рациональные составляют только одну часть действительных, в которые входят также иррациональные числа. Проверьте, можно ли представить число дробью m/n: если нельзя, оно всё равно может быть действительным, как √2. Значит, рациональные числа не исчерпывают множество действительных.
Ошибка: думать, что отрицательное число больше положительного, если его модуль больше. На прямой −5 расположен левее, чем 2, поэтому −5 < 2, хотя модуль числа −5 больше. Проверьте положение чисел: правое всегда больше левого. Не сравнивайте числа разных знаков только по модулям.
Для этой темы нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, целых числах, координатной прямой и сравнении чисел. Они помогают проверять, является ли число рациональным, и отмечать его положение. Позже действительные числа пригодятся при изучении квадратных корней и приближённых вычислений. Представление числа точкой прямой также используют при работе с координатами.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Иррациональное так записать нельзя: его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Почему бесконечная десятичная дробь не всегда иррациональна?
Бесконечная дробь может повторять одну и ту же цифру или группу цифр. Такая периодическая запись соответствует рациональному числу, например 0,333… = 1/3.
Является ли число 0 рациональным?
Да, ноль рационален, потому что его можно записать как дробь 0/1. Знаменатель этой дроби не равен нулю.
Как понять, между какими целыми числами находится √2?
Сравните квадраты соседних целых чисел: 1² = 1, а 2² = 4. Так как 1 < 2 < 4, то 1 < √2 < 2.
Можно ли точно отметить иррациональное число на числовой прямой?
Да. Каждому действительному числу соответствует единственная точка прямой, в том числе иррациональному. Приближённая десятичная запись помогает найти эту точку, но не заменяет точное значение.
Раздел IV. Понятие о действительных числах
