"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
При делении одной натуральной величины на другую после запятой может получиться бесконечная запись, в которой цифры повторяются группами. Такая запись называется бесконечной периодической десятичной дробью. Повторяющуюся группу называют периодом и заключают в скобки: например, 0,(3). Периодические дроби помогают записывать результаты деления, которые нельзя выразить конечным числом знаков после запятой. Главное — научиться находить начало повтора и не включать в период лишние цифры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бесконечная десятичная дробь — запись числа, в которой после запятой бесконечно много цифр. Например, запись 0,333… не заканчивается. Это понятие нужно, чтобы описывать числа, для которых нельзя указать конечное количество цифр после запятой.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой после некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,272727… повторяются цифры 27. Так можно коротко и точно записать результат деления, который продолжается без конца.
Период десятичной дроби — наименьшая группа цифр, повторяющаяся в её записи; её записывают в скобках. Например, 0,(27) означает 0,272727… . Скобки помогают увидеть, какие цифры нужно повторять, а требование наименьшей группы не позволяет записать период длиннее необходимого.
Чистая периодическая дробь начинается с периода сразу после запятой, а смешанная имеет перед периодом одну или несколько цифр. В записи 0,(6) период начинается сразу, поэтому дробь чистая; в 0,8(3) перед периодом есть цифра 8, поэтому дробь смешанная. Это различие помогает правильно поставить скобки.
Чтобы перевести дробь в десятичную, делят числитель на знаменатель столбиком. После деления целой части ставят запятую, а остаток умножают на 10: полученное число делят на знаменатель и получают следующую цифру частного. Поэтому для продолжения вычисления нужны и остаток, и знаменатель: именно они определяют очередную цифру.
Например, при делении 1 на 3 сначала получаем целую часть 0 и остаток 1. Умножаем остаток на 10, делим 10 на 3 и получаем цифру 3 с остатком 1. Остаток снова стал равен 1, значит, при следующем шаге получится та же цифра; деление повторяет этот ход снова и снова.
Повтор остатка неизбежен, если деление продолжается: при делении на знаменатель b возможны остатки 0, 1, 2, …, b − 1. Их конечное число, поэтому бесконечно получать всё новые остатки невозможно. Если остаток равен нулю, деление заканчивается; если же ненулевой остаток повторился, с ним повторится и дальнейшая последовательность цифр.
Период находят, продолжая деление и отмечая остатки. Например, если остаток 2 снова встретился после появления цифр 1 и 8, эти цифры начинают повторяться; группу нужно записать в скобках. Проверяй, что выделенная группа действительно повторяется, и выбирай её наименьшую длину: если цифры 121212… повторяются, периодом будет 12, а не 1212.
У чистой дроби цифры периода идут сразу за запятой, как в 0,(45). У смешанной сначала появляется неповторяющаяся часть, а затем период, например в 0,2(7). Чтобы определить вид дроби, не нужно оценивать, сколько цифр видно в записи: нужно найти место, с которого остаток и последующие цифры начинают повторяться.
Конечная десятичная дробь тоже может быть представлена бесконечной записью: после последней цифры можно приписать сколько угодно нулей. Например, 0,5 = 0,5000… . В этой записи повторяется 0, поэтому её можно рассматривать как периодическую с нулевым периодом; привычная конечная форма просто короче и удобнее.
| Вид записи | Что происходит после запятой | Пример | Где начинается период |
|---|---|---|---|
| Конечная десятичная дробь | Цифры заканчиваются; при продолжении идут нули | 0,5 | В обычной записи периода нет; в продолжении нулей — после последней цифры |
| Бесконечная чистая периодическая дробь | Сразу после запятой бесконечно повторяется группа цифр | 0,(27) | Сразу после запятой |
| Бесконечная смешанная периодическая дробь | Сначала идут цифры без повтора, затем повторяется группа | 0,8(3) | После цифры 8 |
Сначала определи, заканчивается ли запись или продолжается бесконечно, затем найди начало повторяющейся группы. Скобки в примерах показывают период, а цифры перед скобками у смешанной дроби остаются вне него. Конечную дробь можно мысленно продолжить нулями, если нужно сопоставить её с периодическими записями.
Условие. Выполните деление 1 : 3 и запишите результат в виде периодической дроби. Укажите период. Чтобы понять, что будет происходить дальше, при каждом шаге записываем остаток и следующую цифру частного.
Ответ. 1 : 3 = 0,(3), период — 3. Дробь чистая, потому что повтор начинается сразу после запятой. Повтор остатка 1 позволяет не продолжать деление бесконечно: дальнейшие шаги уже известны.
Условие. Выполните деление 5 : 6. Определите, является ли дробь чистой или смешанной, и назовите период. Здесь важно проследить, появится ли перед повторяющимися цифрами отдельная неповторяющаяся цифра.
Ответ. 5 : 6 = 0,8(3); это смешанная периодическая дробь с периодом 3. Скобки не захватывают 8: она появилась до того, как остаток стал повторяться. Проверка по остаткам показывает, что после остатка 2 каждый раз получается цифра 3.
Условие. Выполните деление 7 : 11, запишите результат периодической дробью и проверьте период. Чтобы не захватить лишние цифры, сравним остатки на каждом шаге деления.
Ответ. 7 : 11 = 0,(63), период — 63. Это чистая периодическая дробь, потому что период начинается сразу после запятой. Цифры 6 и 3 образуют наименьшую повторяющуюся группу: после каждых двух шагов остаток возвращается к 7.
Считать периодом все цифры после запятой — значит не различать бесконечную запись и повторяющуюся группу. Так ошибаются, когда видят много цифр и сразу заключают их все в скобки. Проверь себя: период должен повторяться целиком, поэтому сравни несколько следующих групп цифр.
У смешанной дроби нельзя начинать период сразу после запятой, если перед повтором есть цифры без повторения. Такая ошибка возникает, когда смотрят только на видимую запись, а не на шаги деления. Отметь остаток, который повторился: цифры, появившиеся до его первого появления, не входят в период.
Иногда в скобки включают слишком длинную группу, например 6363 вместо 63 в записи 0,636363… . Это происходит, если не проверять, можно ли сократить выделенную группу. Повтори её части: если одна меньшая группа сама воспроизводит запись, именно она и является периодом.
Можно подумать, что цифры при делении никогда не начнут повторяться, если продолжать его достаточно долго. Но остатки ограничены: при делении на 11 ненулевыми могут быть только остатки от 1 до 10. Записывай их по порядку и проверяй, не встретился ли уже такой остаток; его повтор означает, что дальнейшие цифры пойдут по прежнему кругу.
Для этой темы нужно уметь делить натуральные числа с остатком и выполнять деление столбиком: без понимания остатков трудно найти место, откуда начинается повтор. Также пригодятся представления об обыкновенной дроби и десятичной записи числа, потому что периодическая запись часто получается при переводе обыкновенной дроби в десятичную. Позже периодические дроби будут нужны при изучении рациональных чисел и при переводе дробей в десятичную запись.
Почему при делении начинают повторяться цифры?
При делении каждую следующую цифру частного определяет остаток. Остатков может быть только конечное число, поэтому рано или поздно один из них повторится. С этого места повторятся и дальнейшие цифры.
Как понять, где начинается период?
Выполняй деление и следи за остатками. Когда остаток впервые повторится, цифры, полученные между двумя появлениями этого остатка, образуют период. Цифры до них, если они есть, в период не входят.
Почему период нужно заключать в скобки?
Скобки показывают, какая группа цифр повторяется бесконечно. Например, 0,(27) означает 0,272727… . Без скобок было бы непонятно, какие цифры продолжают повторяться.
Чем чистая периодическая дробь отличается от смешанной?
У чистой дроби период начинается сразу после запятой, например 0,(6). У смешанной перед периодом стоят цифры, которые не повторяются: в числе 0,8(3) сначала идет 8, а период начинается с 3.
Может ли конечная десятичная дробь считаться периодической?
Да, конечную запись можно продолжить бесконечной последовательностью нулей. Например, 0,5 = 0,5000…; в таком продолжении повторяются нули. Обычно число записывают короче, без них.
8.1. Бесконечные периодические десятичные дроби
