"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Десятичная запись числа может закончиться, повторять один и тот же набор цифр или продолжаться без периода. Первые два случая соответствуют рациональным числам — их можно записать дробью двух целых чисел. Бесконечная непериодическая запись задаёт иррациональное число. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа: ими отмечают точки на координатной прямой, сравнивают величины и выполняют вычисления. Понимание этой связи помогает отличать точное значение числа от его приближения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Например, 3/4 и −2 — рациональные числа, потому что −2 можно записать как −2/1. Это определение помогает понять, какие числа можно получить делением целых чисел.
Бесконечная непериодическая десятичная дробь — десятичная запись, которая не заканчивается и в которой цифры не повторяются бесконечно одним и тем же периодом. Периодом называют повторяющийся блок цифр, например 27 в записи 0,272727… Такая дробь нужна, чтобы записывать числа, десятичные знаки которых продолжаются без повторяющегося блока.
Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби двух целых чисел; его десятичная запись бесконечна и непериодична. Например, к таким числам относятся π и √2. Это понятие позволяет выделить числа, не являющиеся рациональными, но необходимые для описания величин и точек на прямой.
Действительные числа — множество, включающее рациональные и иррациональные числа. Значит, к действительным относятся и числа вроде 1/2, и числа вроде √2. Это общее множество удобно, когда нужно описывать все числа, соответствующие точкам координатной прямой.
Чтобы записать дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление заканчивается без остатка, десятичная запись конечная: например, 3/4 = 0,75. Если остаётся ненулевой остаток, деление продолжают, приписывая к частному цифры и каждый раз находя новый остаток. Остаток определяет следующий шаг деления, поэтому от него зависит продолжение записи.
Почему при делении дроби получается конечная или периодическая запись? При делении на знаменатель n остаток может принимать только значения от 0 до n − 1, то есть вариантов конечное число. Если остаток стал нулём, дальнейшие цифры не нужны и запись заканчивается. Если остаток снова встретился, дальнейшие шаги повторятся в том же порядке, а значит, повторятся и цифры частного. Поэтому десятичная запись рационального числа всегда конечная или периодическая.
Иррациональное число можно распознать по точной десятичной записи: она бесконечна и не имеет периода. Например, у числа π цифры после запятой не заканчиваются и не складываются в повторяющийся блок. У √2 запись начинается так: 1,4142135… и также продолжается без периода. Если указан только отрезок такой записи, он служит приближением, а не полным описанием числа.
Рациональные и иррациональные числа — разные части множества действительных чисел. Каждое рациональное число является действительным, но действительное число не обязательно рационально: √2 — действительное, но не рациональное. Если собрать вместе рациональные и иррациональные числа, получится множество действительных чисел. Такое разделение показывает, что дробями двух целых чисел можно описать не все действительные числа.
Действительные числа связаны с координатной прямой взаимно однозначно. Каждому такому числу соответствует ровно одна точка: например, числу 2 соответствует точка на расстоянии двух единиц от нуля вправо. И наоборот, у каждой точки прямой есть единственная координата — действительное число. Поэтому числами можно задавать положение точек, а по расположению точек сравнивать числа.
| Свойство | Рациональные числа | Иррациональные числа |
|---|---|---|
| Можно ли представить дробью m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0 | Можно | Нельзя |
| Вид десятичной записи | Конечная или бесконечная периодическая | Бесконечная непериодическая |
| Примеры | 3/4; 0,333…; −2 | π; √2 |
| Принадлежность множеству действительных чисел | Принадлежат | Принадлежат |
Сначала определите, можно ли представить число дробью целых чисел, а затем сверьте его десятичную запись с таблицей. Одна лишь бесконечность записи не доказывает, что число иррационально: она может быть периодической.
Число 0,375 — конечная десятичная дробь. Чтобы превратить её в обыкновенную, учитываем, что после запятой три цифры, значит, знаменатель сначала будет равен 1000. Затем сокращаем полученную дробь.
Ответ: 0,375 — рациональное число; 0,375 = 3/8.
В записи повторяются единицы, а между ними стоят группы нулей. Нужно проверить не просто наличие похожих цифр, а повторение одного и того же блока на всём протяжении записи. Число нулей между единицами постепенно увеличивается.
Ответ: 0,101001000100001… — иррациональное число, потому что его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Чтобы расположить числа, сравним их значения. Число √2 иррациональное, поэтому используем данное приближение 1,41. Оно больше 1,4 и меньше 1,5, а значит, точка √2 окажется между точками этих двух чисел.
Ответ: на координатной прямой √2 находится между 1,4 и 1,5, ближе к 1,4.
Ошибка — считать иррациональной любую бесконечную десятичную дробь. Например, в записи 0,333… цифры не заканчиваются, но период 3 повторяется, а число равно 1/3. Чтобы проверить себя, выясните, повторяется ли блок цифр; одной бесконечности недостаточно.
Иногда отсутствие периода в начале записи принимают за доказательство, что его нет вообще. У рационального числа период может начаться после нескольких цифр, поэтому первые знаки могут выглядеть неповторяющимися. Проверяйте всю заданную запись и помните: период — это постоянный блок, повторяющийся начиная с некоторого места.
Приближение иррационального числа иногда ошибочно считают его точной конечной записью. Запись √2 ≈ 1,41 означает, что число близко к 1,41, а не равно ему. Знак ≈ указывает на приближение; точную запись иррационального числа нельзя заменить конечной десятичной дробью.
Рациональные числа иногда отождествляют со всеми действительными. Это неверно, потому что к действительным относятся также иррациональные числа, например π. Проверьте себя: если число нельзя представить дробью целых чисел, оно всё равно может быть действительным, но уже иррациональным.
Для этой темы пригодятся знания об обыкновенных и десятичных дробях: они помогают переводить записи и понимать, что означает период. Деление с остатком объясняет, почему при делении возникают повторяющиеся цифры. Также понадобится координатная прямая, на которой числа можно отмечать и сравнивать.
Представление чисел на координатной прямой используется при сравнении чисел и решении задач с действительными числами. Если одно число расположено правее другого, оно больше. Для иррационального числа положение можно уточнить с помощью десятичного приближения.
Понятие иррационального числа подготавливает к изучению квадратных корней. Например, √2 нельзя записать дробью двух целых чисел, но его можно оценить приближённо и использовать в вычислениях. Приближения понадобятся и в других задачах, где точное десятичное значение не заканчивается.
Как понять, является ли бесконечная десятичная дробь периодической?
Нужно проверить, повторяется ли начиная с какого-то места один и тот же блок цифр. Период может начинаться не сразу, поэтому рассматривают всю запись, а не только её первые цифры.
Почему бесконечная периодическая дробь может быть рациональным числом?
При делении целых чисел остатки рано или поздно повторяются, и вслед за ними повторяются цифры частного. Например, 0,333… = ⅓, поэтому такая запись соответствует дроби.
Можно ли точно записать иррациональное число конечной десятичной дробью?
Нет, конечная десятичная дробь является рациональным числом. Иррациональное число можно записать приближённо, например √2 ≈ 1,41, но это не точная запись.
Чем действительное число отличается от рационального?
Рациональные числа можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Действительные числа включают все рациональные числа и иррациональные, которые такой дробью представить нельзя.
Как отметить иррациональное число на координатной прямой?
Сначала находят два близких рациональных числа, между которыми оно расположено. Затем используют десятичное приближение, чтобы определить его положение точнее, и отмечают соответствующую точку.
8.2. Бесконечные непериодические десятичные дроби. Действительные числа
