8.3. Сравнение действительных чисел. Приближённые вычисления с действительными числами

Определения и обозначения

Действительное число — любое число, которому соответствует точка на координатной прямой. К действительным относятся рациональные числа, которые можно записать обыкновенной или конечной либо периодической десятичной дробью, и иррациональные числа, например √2, с бесконечной непериодической десятичной записью. Вместе эти два множества составляют все действительные числа. Это понятие нужно, чтобы описывать числа, встречающиеся в вычислениях и измерениях.

Сравнение действительных чисел — установление, какое число больше, меньше или равно другому. Для записи используют знаки >, < и =: например, 4 > 1, а 2 = 2. Сравнение помогает упорядочивать числа и выбирать верный результат. Оно связано с тем, где соответствующие числа расположены на координатной прямой.

Приближённое значение числа — близкое к исходному число, которым заменяют его в вычислениях с указанной точностью. Например, √7 ≈ 2,65 — это приближение, а не точное равенство. Приближения нужны, когда точное значение неудобно записать или вычислить. Точность показывает, до какого разряда сохраняют результат.

Округление числа — замена числа приближённым значением с отбрасыванием лишних разрядов по определённому правилу. Например, 6,374 при округлении до сотых становится 6,37. Округление упрощает запись и вычисления, но может немного изменить число. Поэтому после округления обычно ставят знак ≈.

Как это устроено

Каждому действительному числу на координатной прямой соответствует точка, а числам соответствует их расположение слева направо. Если точка числа a находится левее точки числа b, то a < b. Это правило работает для положительных, отрицательных и иррациональных чисел, потому что прямая задаёт единый порядок для всех чисел. Например, точка −1 расположена левее точки 2, значит −1 < 2.

Если числа имеют разные знаки, любое положительное число больше любого отрицательного: положительные точки находятся справа от нуля, отрицательные — слева. Для двух отрицательных чисел порядок обратен сравнению их модулей. Модуль показывает расстояние от числа до нуля: точка −2 ближе к нулю, чем точка −5, поэтому −2 > −5. Это объясняет, почему нельзя сравнивать отрицательные числа так же, как их положительные модули.

Десятичные числа одинакового знака сравнивают разряд за разрядом: сначала целые части, потом десятые, сотые и следующие цифры. Если целые части равны, решающей становится первая различающаяся цифра после запятой. Например, 3,47 < 3,50, потому что в разряде десятых 4 меньше 5. При сравнении двух отрицательных десятичных чисел сначала можно сравнить их положительные модули, но затем большему модулю соответствует меньшее число.

Записи с разным количеством цифр после запятой удобно уравнять нулями справа: например, 2,8 записать как 2,80. Это не меняет числа, потому что ноль в конце десятичной дроби не добавляет новой величины. Если число задано корнем, можно найти его десятичное приближение и сравнить записи. Иногда точнее сравнить квадраты: для неотрицательных чисел возведение в квадрат сохраняет порядок, поэтому √7 > 2,6, так как 7 > 6,76.

При округлении до заданного разряда сохраняют цифру этого разряда и смотрят на следующую за ней. Если она равна 0, 1, 2, 3 или 4, сохраняемая цифра не меняется; если 5, 6, 7, 8 или 9 — увеличивается на единицу. В приближённых вычислениях важно учитывать точность исходных данных: округление каждого промежуточного результата может накапливать ошибку. Поэтому промежуточные значения разумно записывать с запасом цифр, а итог округлять до требуемого разряда.

Правила сравнения и округления действительных чисел

Сначала определите, к какой ситуации относится задача, а затем выберите подходящее правило. В примерах таблицы знак ≈ показывает приближение, а знак = — точное равенство. При вычислениях округляйте до того разряда, который требуется в ответе.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа −2,37 и −2,307.

1. Уравняем число знаков после запятой: −2,37 = −2,370.
2. Сравним модули: 2,370 > 2,307. У отрицательных чисел большему модулю соответствует меньшее число.
3. Значит, −2,370 < −2,307, поэтому −2,37 < −2,307.

Ответ: −2,37 < −2,307. Нули помогли увидеть одинаковое число разрядов, а обратный порядок отрицательных чисел определил знак сравнения.

Задача 2. Сравнить числа √7 и 2,6.

1. Оба числа неотрицательные, поэтому можно сравнить их квадраты: при возведении неотрицательных чисел в квадрат порядок сохраняется.
2. Получаем (√7)² = 7 и 2,6² = 6,76.
3. Так как 7 > 6,76, то √7 > 2,6.

Ответ: √7 > 2,6. Этот способ позволяет сравнить числа точно и не требует сначала округлять корень.

Задача 3. Вычислить с точностью до 0,1 значение (√7 + 1,8) : 2.

1. Найдём приближение корня с запасом точности: √7 ≈ 2,646.
2. Подставим его в выражение: (2,646 + 1,8) : 2 = 4,446 : 2 = 2,223.
3. Округлим результат до десятых. Цифра сотых равна 2, поэтому цифра десятых не меняется: 2,223 ≈ 2,2.

Ответ: 2,2. В вычислениях сохранили дополнительные цифры, чтобы преждевременное округление не повлияло на ответ до десятых.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −5 > −2, потому что 5 > 2. Так происходит, если забыть, что у отрицательных чисел порядок обратный порядку модулей. На прямой −5 находится левее −2, значит −5 < −2. Проверяйте знак и расположение чисел относительно нуля.

Ошибка: считать число с большим количеством цифр после запятой большим. Например, запись 2,80 не больше 2,8 — это одно и то же число. Ошибку допускают, если сравнивают длину записи, а не значения разрядов. Припишите нули справа и сравните числа поразрядно.

Ошибка: при округлении смотреть на последнюю цифру, которую оставляют, а не на следующую. Решение об изменении этой цифры зависит именно от следующей: 0–4 сохраняют её, 5–9 увеличивают на единицу. Например, 6,374 до сотых округляют до 6,37, потому что следующая цифра — 4. Перед округлением отметьте разряд и найдите цифру сразу за ним.

Ошибка: поставить знак = вместо ≈ после округления или знак ≈ там, где равенство точное. Округлённое число обычно лишь близко к исходному, поэтому равенства здесь нет; при этом 2,8 и 2,80 равны точно. Проверяйте, изменилось ли значение или только запись числа. Для приближения используйте ≈, для точного совпадения — =.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел нужны координатная прямая, положительные и отрицательные числа, модули, десятичные дроби и правила округления. Эти навыки применяют при измерениях и работе с координатами: результат измерения часто известен лишь с определённой точностью. Приближённые вычисления помогают обрабатывать такие данные и записывать ответ с нужным количеством разрядов. Позже они пригодятся в действиях с числами, содержащими корни, и в практических задачах.

Что запомнить

• На координатной прямой левее расположено меньшее число.
• Любое отрицательное число меньше любого положительного.
• Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.
• Десятичные дроби сравнивают поразрядно, при необходимости приписывая нули справа.
• При сравнении неотрицательных чисел можно сравнивать их квадраты.
• При округлении цифра сохраняется при следующей цифре 0–4 и увеличивается на единицу при следующей цифре 5–9.
• Результат округления записывают со знаком приближённого равенства.