8.4. Длина отрезка

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают заглавными буквами, например A и B; сам отрезок записывают AB. Такая запись помогает точно указать, какую часть прямой рассматривают, даже если на чертеже есть другие отрезки.

Единичный отрезок — отрезок, который выбрали за единицу измерения. Например, можно договориться, что отрезок длиной 1 см будет единичным. Его используют как мерку: сравнивают с ним другой отрезок и выясняют, сколько таких мерок в нём помещается.

Длина отрезка — число, полученное при измерении отрезка единичным отрезком. Если мерка длиной 1 см укладывается вдоль отрезка 4 раза, его длина равна 4 см. Длина нужна, чтобы точно описывать размер отрезка и сравнивать его с другими.

Равными называют отрезки, длины которых совпадают. Например, если AB имеет длину 5 см и CD тоже имеет длину 5 см, то отрезки AB и CD равны, даже если на рисунке они расположены по-разному. Равенство отрезков удобно устанавливать по измерениям, а не по их положению на листе.

Как это устроено

Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок, а затем узнают, сколько раз он помещается вдоль измеряемого. Линейка уже содержит привычные единицы и деления, поэтому её можно приложить к отрезку и считать отметки. Единицу выбирают заранее, иначе число измерения нельзя будет правильно понять и сравнить с другими результатами.

Иногда единичный отрезок укладывается ровно целое число раз: тогда длину можно записать этим числом единиц. Но длина не всегда состоит из целых мерок: например, отрезок может быть длиннее трёх единиц, но короче четырёх. Тогда его длину выражают дробным числом, которое показывает, какая часть следующей единицы добавляется к целым единицам.

Результат измерения не должен зависеть от того, измеряем ли мы линейкой или другой подходящей меркой, если выбрана одна и та же единица. Инструменты могут различаться, но единичный отрезок остаётся одинаковым, а значит, должно получиться одно и то же число. Если результаты расходятся, стоит проверить, правильно ли приложен инструмент и откуда начат отсчёт.

Когда точка C лежит между концами отрезка AB, части AC и CB вместе составляют весь AB. Поэтому длина целого равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Это свойство позволяет найти неизвестную длину, если известны обе части, и проверить вычисление обратным действием — вычитанием одной части из целого.

Сравнивать отрезки удобнее не на глаз, а по их длинам. Если длины записаны в одной единице измерения, большее числовое значение соответствует более длинному отрезку. Когда единицы разные, сначала нужно привести длины к одной единице, иначе сравниваться будут числа, относящиеся к разным меркам.

Основные свойства длины отрезка

В таблице ситуация показывает, что известно об отрезках, а средний столбец — какое свойство из этого следует. Запись AB = CD означает равенство длин отрезков AB и CD. Пользуйся этим свойством, когда нужно заменить сравнение самих отрезков сравнением их числовых длин.

Разбор задач

Задача 1. Отрезок на рисунке равен 5 единичным отрезкам. Найдите его длину. Здесь единичный отрезок — мерка, поэтому длина выражается числом таких мерок. Достаточно посчитать, сколько раз мерка укладывается в данном отрезке.

1. Определяем, что единичный отрезок принят за одну единицу длины.
2. Считаем количество единичных отрезков: их пять.
3. Записываем длину числом этих единиц: 5.

Ответ: 5 единичных отрезков, или 5 единиц длины. Если для единицы задано название, например сантиметр, его нужно добавить к числу.

Задача 2. Длина отрезка AB равна 8 см, а длина CD — 6 см. Какой отрезок длиннее и на сколько? Обе длины выражены в сантиметрах, значит, числа можно сравнить сразу. Разность длин покажет, насколько один отрезок длиннее другого.

1. Сравниваем 8 и 6: число 8 больше, поэтому AB длиннее CD.
2. Находим разность: 8 − 6 = 2.
3. Сохраняем единицу измерения в ответе: разность равна 2 см.

Ответ: отрезок AB длиннее отрезка CD на 2 см. Проверка: если к 6 см прибавить найденные 2 см, получится 8 см.

Задача 3. Точка C лежит между A и B. Известно, что AC = 3,7 см, а CB = 5,2 см. Найдите длину AB. Так как C находится между концами, отрезок AB состоит ровно из частей AC и CB. Значит, для длины целого применяем сложение.

1. Записываем свойство: AB = AC + CB.
2. Подставляем известные длины: AB = 3,7 см + 5,2 см.
3. Складываем десятичные дроби, располагая запятые друг под другом: 3,7 + 5,2 = 8,9.

Ответ: длина AB равна 8,9 см. Результат больше каждой из частей, что согласуется с тем, что целый отрезок включает обе части.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что длина меняется вместе с положением отрезка на чертеже. Отрезок могут повернуть или перенести, но его длина от этого не изменится; так думают, когда ориентируются только на вид рисунка. Проверь себя: измерь отрезок линейкой до и после поворота или переноса — результат должен быть одинаковым.

Не стоит сравнивать отрезки только по внешнему виду: чертёж может быть уменьшен или увеличен неравномерно, а иногда он просто схематичный. Ошибку допускают, когда принимают рисунок за точную копию реальных размеров. Для проверки сравни числовые длины, измеренные одной единицей, а если есть сомнение — воспользуйся линейкой.

Складывать AC и CB для нахождения AB можно только тогда, когда C лежит между A и B. Если точка расположена иначе, эти части могут не составлять весь AB, поэтому привычное сложение даст неправильный результат. Перед вычислением проверь расположение точки по условию или чертежу и лишь затем запиши AB = AC + CB.

Число без единицы измерения может оказаться непонятным: 5 — это сантиметры, метры или другие единицы? Такую запись часто делают, торопясь после вычислений. Чтобы проверить себя, перечитай условие и добавь к числовому ответу нужную единицу; если её не задали, укажи, в каких единицах выражена длина.

Связь с другими темами

Для работы с длиной нужно знать, что такое точка, прямая и отрезок, а также уметь пользоваться линейкой. Эти представления помогают правильно определить, что измерять и где начинать отсчёт. Позже измерение и сравнение длин пригодятся при изучении периметра, геометрических фигур и координатной прямой. В периметре, например, складывают длины сторон фигуры, а на координатной прямой рассматривают расстояния между точками.

Что запомнить

• Длина отрезка — положительное число.
• Чтобы измерить отрезок, выбирают единицу измерения.
• Равные отрезки имеют равные длины.
• Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• При сравнении отрезков сравнивают их длины.
• Числовое значение длины зависит от выбранной единицы измерения.