"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Окружность — замкнутая линия, а круг — часть плоскости внутри неё. Эти фигуры встречаются в колёсах, тарелках и круглых участках земли. Чтобы измерять окружность и круг, используют число π, которое приблизительно равно 3,14. Длину окружности находят по радиусу или диаметру, а площадь круга — по радиусу. Главное — не перепутать формулы и единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Расстояние от центра до любой точки окружности называют радиусом и обозначают r. Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр, — диаметр d; он состоит из двух радиусов, поэтому d = 2r. Радиус и диаметр помогают описать размер окружности и выбрать данные для вычислений.
Длина окружности — это длина самой линии окружности, её обозначают буквой C. Представить эту величину можно так: если разрезать окружность и выпрямить линию, получится отрезок длиной C. Длину окружности измеряют обычными единицами длины, например сантиметрами или метрами. Она нужна, когда требуется узнать длину края круглого предмета или путь колеса за один оборот.
Число π, которое читают «пи», — это отношение длины окружности к её диаметру. Для любой окружности это отношение одно и то же; в школьных вычислениях часто используют приближение π ≈ 3,14. Знак ≈ означает «приблизительно равно», потому что десятичная запись числа π продолжается бесконечно. Это число позволяет находить длину окружности, даже если измерить её непосредственно неудобно.
Площадь круга — это площадь части плоскости, ограниченной окружностью; её обозначают буквой S. Окружность является только границей, а круг включает и границу, и всё пространство внутри неё. Площадь показывает, сколько места занимает круглая поверхность. Например, эта величина нужна, чтобы оценить площадь круглой клумбы или детали.
Можно взять несколько круглых предметов, измерить их окружности и диаметры, а затем разделить каждую длину на соответствующий диаметр. Полученные значения будут не совершенно одинаковыми, потому что измерения линейкой и нитью имеют небольшую погрешность. Но при более точных измерениях отношения всё ближе к одному и тому же числу. Это постоянное отношение обозначают π, поэтому окружности разных размеров можно сравнивать одним правилом.
По определению числа π длина окружности, делённая на диаметр, равна π: C ÷ d = π. Чтобы найти C, нужно умножить обе части равенства на d, и получится C = πd. Если известен радиус, сначала учитывают, что диаметр в два раза больше радиуса: d = 2r. Подстановка этого равенства даёт вторую формулу: C = 2πr.
Площадь круга тоже связана с его размером: чем больше радиус, тем больше места занимает круг. Для вычисления используют формулу S = πr², где r² означает r · r. Квадрат радиуса нужен не для длины границы, а именно для площади: если радиус увеличить вдвое, площадь увеличится в четыре раза. Поэтому перед вычислением важно понять, требуется измерить линию окружности или внутреннюю область круга.
При решении задачи сначала выясняют, какая величина известна и что требуется найти. Затем выбирают формулу, при необходимости выражают из неё неизвестную величину и только после этого подставляют числа. Например, если дана площадь и требуется радиус, из S = πr² получают r² = S ÷ π, а затем извлекают квадратный корень. В конце вычислений округляют результат, если это необходимо по условию, и записывают единицу измерения.
Единицы помогают проверить, какую величину вычисляли. Длина окружности — это длина линии, поэтому её результат выражают в сантиметрах, метрах и других единицах длины. Площадь описывает поверхность, поэтому записывают квадратные единицы: см², м² и так далее. Если в ответе к задаче на площадь получилось просто «см», значит, единицы указаны неверно.
| Величина | Формула через радиус r | Формула через диаметр d |
|---|---|---|
| Длина окружности C | C = 2πr | C = πd |
| Площадь круга S | S = πr² | S = π(d ÷ 2)² |
| Связь радиуса и диаметра | r = d ÷ 2 | d = 2r |
Сначала найдите в таблице нужную величину, затем посмотрите, известен ли радиус или диаметр. Для площади через диаметр сначала можно разделить его на 2 и получить радиус. При вычислениях вместо π обычно подставляют 3,14, если условие не задаёт другое значение.
Задача 1. Радиус окружности равен 5 см. Найдите её длину, приняв π ≈ 3,14. Известен именно радиус, поэтому удобнее взять формулу C = 2πr. Здесь не нужно сначала вычислять диаметр: формула уже позволяет подставить радиус.
Задача 2. Диаметр колеса равен 70 см. Какое расстояние оно проедет за один полный оборот? Примем π ≈ 3,14. За полный оборот колесо проходит путь, равный длине его окружности: точка на ободе возвращается в исходное положение. Диаметр дан сразу, поэтому выбираем формулу C = πd.
Задача 3. Площадь круглой клумбы равна 78,5 м². Найдите её радиус, приняв π ≈ 3,14. Здесь дана площадь, но требуется радиус, поэтому формулу площади нужно преобразовать. Из S = πr² следует r² = S ÷ π, а после извлечения корня получится r.
В формулу площади S = πr² иногда подставляют диаметр вместо радиуса. Так происходит, когда значения радиуса и диаметра путают или не проверяют условие перед вычислением. Если известен диаметр, сначала разделите его на 2 и найдите радиус. Проверка: в формуле площади под знаком квадрата стоит именно r.
Вычисляя длину через радиус, некоторые записывают C = πr и забывают множитель 2. Такая ошибка возникает, если механически запомнить формулу через диаметр C = πd, но подставить вместо d радиус. Используйте равенство d = 2r: тогда C = π · 2r = 2πr. Для самопроверки сравните выбранную формулу с формулой в таблице.
Ещё одна ошибка — возводить радиус в квадрат при вычислении длины окружности или, наоборот, забыть квадрат в формуле площади. Обе ошибки появляются, когда формулы запоминают не связывая их с тем, что измеряют. Длина окружности находится по C = 2πr или C = πd, а площадь — по S = πr². Проверьте, требуется длина линии или размер области внутри неё.
Иногда площадь записывают в единицах длины, например в сантиметрах без квадрата. Причина — забытая проверка единиц или смешение площади с длиной границы. Площадь клумбы записывают, например, в м², а длину её ограды — в метрах. Если вычисляли площадь, ответ должен содержать квадратную единицу.
Чтобы работать с окружностью, нужно знать, что такое радиус и диаметр, и помнить равенство d = 2r. Эти понятия помогают перейти от одного размера круга к другому и выбрать формулу. Перед подстановкой полезно подписать, какое число обозначает радиус, а какое — диаметр.
Вычисления опираются на умножение и деление десятичных дробей, возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня. Например, при поиске радиуса по площади сначала находят r², а затем извлекают корень. Навык округления помогает записать приближённый результат, если он получается нецелым.
Формулы применяют в практических задачах о колёсах и круглых предметах: длина окружности показывает путь за один оборот. Площадь круга помогает вычислять размер круглой клумбы или другого участка. Важно соотносить найденную величину с вопросом задачи: длину края нельзя подменять площадью внутренней поверхности.
Чему приблизительно равно число π?
Число π приблизительно равно 3,14. Оно показывает, во сколько раз длина окружности больше её диаметра.
Как найти длину окружности, если известен радиус?
Умножьте радиус на 2 и на число π: C = 2πr. Например, при r = 5 см длина равна примерно 2 · 3,14 · 5 = 31,4 см.
Как найти длину окружности, если известен диаметр?
Умножьте диаметр на число π: C = πd. Если диаметр дан в сантиметрах, ответ тоже будет в сантиметрах.
Почему в формуле площади круга радиус возводят в квадрат?
Площадь измеряет размер части плоскости, поэтому результат выражается в квадратных единицах. В формуле S = πr² радиус умножается сам на себя, и единица длины тоже становится квадратной.
В каких единицах записывают длину окружности и площадь круга?
Длину окружности записывают в единицах длины: например, в сантиметрах или метрах. Площадь круга записывают в квадратных единицах: например, в см² или м².
8.5. Длина окружности. Площадь круга
