"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Клетчатая бумага помогает измерять и строить геометрические фигуры, даже если под рукой нет линейки. Сторона клетки задаёт единицу длины, а пересечения линий сетки — удобные точки для вершин. Длину прямого отрезка вдоль сетки находят подсчётом клеток, наклонного — через прямоугольный треугольник. Площадь определяют по целым клеткам и их частям, объединяя их или разбивая фигуру на простые части.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Клетка — квадрат клетчатой бумаги, сторона которого принимается за единицу длины. Например, если сторона клетки равна 1 см, то отрезок длиной в пять клеток равен 5 см. Такое соглашение позволяет измерять рисунок подсчётом, не прикладывая линейку.
Узлы сетки — точки пересечения линий клетчатой бумаги. Вершины фигур удобно размещать именно в узлах, потому что их положение легко сравнивать и считать смещения по горизонтали и вертикали. Это особенно помогает при построении и измерении наклонных отрезков.
Координаты точки — пара чисел, показывающая её положение относительно выбранных начала отсчёта и осей на сетке. Первое число обычно описывает перемещение по горизонтали, второе — по вертикали. Координаты помогают точно записать, где находится вершина, и проверить, правильно ли построена фигура.
Площадь фигуры на клетчатой бумаге — число единичных квадратов, из которых она составлена, включая части клеток, которые можно объединить в целые. Поэтому считать нужно не только полностью закрытые клетки: половины или другие части тоже вносят вклад в площадь. Результат записывают в квадратных единицах, например в см², если сторона клетки измеряется в сантиметрах.
Сначала нужно установить, чему равна сторона клетки, и выбрать, откуда начинать отсчёт. Если в условии сказано, что клетка имеет сторону 1 см, это и есть единичный отрезок; если задана другая длина, используют её. Начало отсчёта и направления горизонтали и вертикали нужны, чтобы одинаково описывать положение точек. Без этой договорённости один и тот же рисунок можно измерить разными способами и получить несопоставимые записи.
Когда отрезок идёт вдоль линии сетки, его длина равна числу промежутков между соседними линиями, а не числу самих линий. Сосчитай клетки от одного конца до другого и умножь результат на длину стороны клетки. Например, семь промежутков по 1 см дают 7 см. Такой способ работает потому, что все эти промежутки одинаковы и расположены на одной прямой.
Наклонный отрезок нельзя измерить простым подсчётом клеток, которые он пересекает: внутри каждой клетки он проходит по диагонали, а не по стороне. Если его концы находятся в узлах, можно мысленно или на рисунке достроить прямоугольный треугольник. Горизонтальное и вертикальное смещения будут катетами, а наклонный отрезок — гипотенузой. Тогда его длину находят по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Площадь многоугольника удобнее искать не по внешнему виду, а через более простые фигуры. Раздели его на прямоугольники и треугольники, найди площадь каждой части и сложи результаты. Другой вариант — дополнить многоугольник до прямоугольника, а затем вычесть площади частей, которые не входят в исходную фигуру. При обоих способах учитываются части клеток, потому что несколько таких частей могут составить целую клетку.
Координаты помогают описать положение вершины без длинного словесного объяснения. Выбери начало отсчёта и оси, затем для каждой точки укажи, на сколько клеток она смещена по горизонтали и вертикали. Если вершины записаны таким образом, можно проверить, совпадает ли их расположение с построением, и найти смещения между концами отрезка. Поэтому координаты связывают измерения на клетчатой бумаге с точным заданием фигур.
| Что нужно найти | Как расположена фигура | Основной приём |
|---|---|---|
| Длина отрезка | Стороны параллельны линиям сетки | Подсчитать промежутки-клетки и умножить на длину стороны клетки. |
| Длина отрезка | Отрезок наклонный, концы в узлах | Найти горизонтальное и вертикальное смещения, применить теорему Пифагора. |
| Площадь прямоугольника | Стороны идут вдоль линий сетки | Умножить число клеток в длину на число клеток в ширину. |
| Площадь треугольника или многоугольника | Фигура целиком или частично занимает клетки | Разбить на простые фигуры либо дополнить до прямоугольника и вычесть лишнее. |
Сначала определи, нужно найти длину или площадь, а затем посмотри, как фигура расположена относительно сетки. Для длины вдоль линий достаточно считать клетки, для наклонного отрезка понадобятся смещения по двум направлениям. Площадь проще находить через целые клетки или разбиение на известные фигуры.
Задача 1. На клетчатой бумаге проведён отрезок вдоль линии сетки длиной 7 клеток. Найдите его длину, если сторона клетки равна 1 см. Поскольку отрезок идёт по линии сетки, его длина складывается из одинаковых отрезков — сторон клеток. Здесь не нужно строить треугольник или измерять диагонали.
Ответ: 7 см. Здесь важно считать именно семь клеточных промежутков между концами, а не число линий, которые видны на пути отрезка.
Задача 2. Концы наклонного отрезка расположены в узлах сетки: от одного конца до другого нужно пройти 3 клетки по горизонтали и 4 по вертикали. Найдите длину отрезка. Эти перемещения идут под прямым углом, поэтому вместе с наклонным отрезком они образуют прямоугольный треугольник. Искомый отрезок — гипотенуза, а смещения 3 и 4 клетки — катеты.
Ответ: 5 клеток, или 5 см при стороне клетки 1 см. Подсчёт клеток, которые пересекает наклонная линия, здесь не заменил бы вычисление, потому что он не показывает длину диагонали.
Задача 3. Многоугольник с вершинами в узлах сетки занимает несколько целых клеток и части клеток. Найдите его площадь. Число целых клеток само по себе не даёт ответ: оставшиеся части тоже входят в площадь. Чтобы не считать их на глаз, удобно выбрать способ разбиения или дополнения и записать площади отдельных частей.
Ответ: площадь равна площади выбранного прямоугольника за вычетом лишних частей (или сумме площадей частей фигуры). Численное значение зависит от конкретного рисунка, поэтому его нельзя получить без числа клеток в прямоугольнике и размеров исключаемых частей.
Наклонный отрезок иногда измеряют по числу клеток, которые он пересекает. Так делают, потому что клетки удобно считать, но пересечённые квадраты не являются равными частями длины отрезка. Проверь себя: найди горизонтальное и вертикальное смещения и сравни результат с длиной по теореме Пифагора.
При вычислении площади могут посчитать только целые клетки и пропустить части по краям. Это происходит, когда внимание сосредоточено на готовых квадратах, а неполные кажутся несущественными. Проверь, можно ли соединить части в целую клетку или включить их в треугольники и другие простые фигуры.
Число клеток иногда записывают как длину, забывая единицы, или называют площадь просто числом клеток. Причина — и длина, и площадь подсчитываются с помощью одной и той же сетки. Проверь размерность: длина измеряется в см или других единицах длины, а площадь — в см² или квадратных единицах.
Теорему Пифагора порой применяют к любому треугольнику на рисунке. Формула работает только для прямоугольного треугольника, а знакомый вид фигуры ещё не доказывает, что угол прямой. Проверь, что катеты направлены по перпендикулярным линиям сетки, и только после этого возводи их длины в квадрат.
Для работы с клетчатой бумагой нужно уметь считать клетки, различать единицы длины и площади, а также находить периметр и площадь прямоугольника. Координатная плоскость развивает этот способ описания: точку задают числами и строят по ним. Подсчёт клеток и смещений помогает в задачах на координаты, построение многоугольников и их площади. Те же приёмы пригодятся, когда нужно проверить геометрическое построение или разбить сложную фигуру на более простые.
Как выбрать единичный отрезок на клетчатой бумаге?
Обычно за единицу длины принимают сторону одной клетки. Нужно заранее договориться об этом и вести отсчёт от линии сетки или выбранного узла. Если в условии задано, например, что клетка равна 1 см, все найденные длины выражают в сантиметрах.
Как найти длину отрезка, если он наклонный?
Если концы отрезка находятся в узлах сетки, посчитай, на сколько клеток они разнесены по горизонтали и вертикали. Эти расстояния образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок становится его гипотенузой. Затем используй теорему Пифагора.
Почему нельзя просто посчитать клетки, пересечённые наклонным отрезком?
Пересечённые клетки показывают лишь, через какие участки сетки проходит отрезок, но не складываются в его длину. Наклонная сторона длиннее прямого перемещения на такое же число клеток по одной линии. Для точного ответа нужно учитывать горизонтальное и вертикальное смещения.
Как найти площадь фигуры, если она не составлена из целых клеток?
Раздели фигуру на части, площади которых легко найти, например на прямоугольники и треугольники. Можно также дополнить её до прямоугольника и вычесть площади лишних частей. Части клеток при этом не пропускают: их объединяют или считают как части простых фигур.
Когда для нахождения длины можно применить теорему Пифагора?
Теорема Пифагора подходит, когда длина искомого отрезка — гипотенуза прямоугольного треугольника. На сетке такой треугольник можно получить, проведя горизонтальный и вертикальный отрезки между концами наклонного. Перед вычислением проверь, что эти стороны действительно перпендикулярны.
9.1. Геометрия на клетчатой бумаге
