"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Перебор вариантов помогает найти все способы выполнить условие задачи, не пропустить подходящий случай и не посчитать один и тот же дважды. Для последовательных выборов удобно использовать дерево вариантов или перемножать числа возможностей на каждом шаге. Если речь идёт о случайном опыте, сначала перечисляют его равновозможные исходы, затем находят долю тех, при которых происходит нужное событие. Так перебор становится основой для вычисления вероятности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перебор вариантов — последовательное рассмотрение всех возможных случаев, чтобы не пропустить подходящий и не посчитать один и тот же несколько раз. Например, можно сначала записывать все варианты для первого выбора, а внутри каждого — продолжения. Такой порядок делает список понятным и помогает проверить, что работа закончена.
Дерево вариантов — схема, в которой каждый шаг выбора изображают ветвями; по ней удобно перечислять и подсчитывать варианты. От начальной точки отходят ветви первого шага, а от каждой из них — продолжения следующих шагов. Дерево нужно, когда выборов несколько: по нему проще увидеть все пути и обнаружить пропуск.
Исход случайного опыта — один из результатов, который может получиться при проведении опыта. Например, при бросании кубика исходом будет выпадение определённого числа очков. Понятие исхода нужно, чтобы точно перечислить результаты опыта и понять, какие из них подходят условию задачи.
Вероятность события — число, показывающее, насколько возможно событие; если все исходы равновозможны, её находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Благоприятными называют исходы, при которых событие происходит. Это определение позволяет сравнить подходящие случаи со всеми возможными и записать вероятность числом от 0 до 1.
При переборе важно заранее задать порядок шагов: иначе легко перескакивать между случаями и забыть некоторые. Например, можно идти по очереди от каждого возможного первого выбора и для него проверять все продолжения. После этого полезно сверить число записанных вариантов с числом, полученным другим способом. Если каждый вариант попал в список один раз, а ожидаемое количество совпало, перебор, скорее всего, полный.
Чтобы построить дерево, отметь начало и проведи от него ветви для всех возможностей первого шага. От конца каждой ветви добавь все разрешённые варианты следующего шага, затем повторяй это для последующих шагов. Готовый вариант читается по пути от начала до конечной точки: на каждом участке пути записан очередной выбор. Такая схема помогает потому, что показывает не только результат, но и то, как к нему пришли.
Полностью перечислять варианты не всегда нужно. Если на первом шаге есть несколько возможностей, и после каждого из них на втором шаге остаётся одинаковое число возможностей, количество пар можно найти умножением этих чисел. Например, два выбора по три возможности дают 3 · 3 = 9 сочетаний. Умножение удобно, потому что каждый выбор первого шага соединяется с каждым выбором второго; если количество продолжений меняется, надо считать по отдельным случаям.
Для вероятности сначала определяют, какие исходы возможны, и проверяют, равновозможны ли они. Затем отмечают среди них благоприятные — те, при которых нужное событие происходит. Лишь после этого можно делить число благоприятных исходов на общее число исходов: так сравниваются одинаково устроенные случаи. Если исходы имеют разные шансы, простая формула не работает, потому что каждый случай нельзя считать одинаковой долей.
Все исходы нужно учитывать одинаково: если один и тот же исход записать дважды или пропустить другой, отношение чисел даст неверную вероятность. Поэтому важно заранее договориться, что именно считается отдельным исходом, например упорядоченной парой результатов двух различимых кубиков. Ответ вероятности записывают числом от 0 до 1 включительно. Это удобно для проверки: вероятность не может быть отрицательной или больше единицы.
| Что требуется найти | Как действовать | Что проверить |
|---|---|---|
| Число вариантов при нескольких шагах выбора | Перемножить количества возможностей на шагах, если продолжения для каждого выбора подсчитаны верно. | Не зависит ли число возможностей следующего шага от предыдущего выбора. |
| Все варианты с небольшим числом случаев | Перечислить их по установленному порядку или построить дерево вариантов. | Каждый ли случай записан и нет ли повторов. |
| Число благоприятных исходов | Выделить исходы, при которых выполняется условие события. | Соответствует ли каждый отмеченный исход условию. |
| Вероятность события при равновозможных исходах | Разделить число благоприятных исходов на число всех исходов. | Равновозможны ли исходы и лежит ли ответ от 0 до 1. |
Сначала определи, что именно требуется найти: полный список, количество вариантов или вероятность. Для небольшого числа случаев полезны список и дерево, а для одинаковых последовательных выборов — умножение. При вероятности обязательно проверь равновозможность исходов до деления.
У Маши есть 3 футболки и 2 пары брюк. Сколько разных комплектов из одной футболки и одной пары брюк она может составить? Комплект определяется одновременно выбранной футболкой и брюками. Значит, нужно учесть каждую футболку с каждой парой брюк.
Ответ: 6 комплектов. Здесь умножение подходит, потому что выбор брюк не зависит от того, какую футболку взяли. Можно проверить результат деревом: от каждой из трёх ветвей-футболок отходят две ветви-брюк, всего получается шесть путей.
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4, если цифры в числе не повторяются? В числе важен порядок цифр: например, 12 и 21 — разные числа. Но после выбора первой цифры её нельзя использовать снова.
Ответ: 12 двузначных чисел. Ограничение влияет на второй шаг: возможностей стало на одну меньше. Если построить дерево, от каждой из четырёх ветвей первого шага отходят три ветви второго, что подтверждает подсчёт.
Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не меньше 10? Считаем кубики различимыми, поэтому исход записываем парой: результат первого и результат второго. У каждого кубика 6 исходов, всего получается 6 · 6 = 36 равновозможных пар.
Ответ: 1/6. Пары с переставленными числами считаются разными, если на первом месте результат первого кубика, а на втором — второго. Именно поэтому мы учитываем, например, и (4, 6), и (6, 4), а общее число исходов равно 36.
При переборе можно пропустить вариант, если переходить от случая к случаю без установленного порядка. Так бывает, когда ученик записывает то один признак, то другой и не возвращается к некоторым сочетаниям. Чтобы проверить себя, перебирай все продолжения для каждого первого выбора и сравни результат с деревом вариантов. Ветви дерева должны покрывать все разрешённые возможности.
Другой сбой — посчитать один вариант дважды. Например, если по условию важна только пара предметов, записи «красный, синий» и «синий, красный» могут обозначать одну и ту же пару. Это случается, когда не уточнили, важен ли порядок. До подсчёта сформулируй, что считается отдельным вариантом, и придерживайся этого правила во всём решении.
Нельзя автоматически перемножать числа возможностей, не проверив следующий шаг. Если после одного выбора остаётся 3 варианта, а после другого — 2, число продолжений зависит от первого решения. Ошибку допускают, принимая все шаги за независимые. Проверь для каждого случая, сколько возможностей остаётся дальше; при разных количествах разбей подсчёт на части и сложи результаты.
Формула вероятности не подходит, если исходы не равновозможны. Например, нельзя просто считать каждый результат одинаковой долей, если устройство опыта даёт одним результатам больше шансов, чем другим. Перед делением проверь условия опыта и равенство шансов. Если оно не выполняется, простое отношение числа исходов не даёт вероятность события.
Для решения таких задач нужны умение понимать условие, а также умножать и делить натуральные числа: умножение помогает считать сочетания, а деление — находить долю благоприятных исходов. Перебор связан с систематизацией данных: таблица или схема позволяют упорядочить случаи и заметить пропуски. Эти способы пригодятся при дальнейшем изучении комбинаторики и вероятности, а также в практических задачах о выборе одежды, маршрутов или расписания. Получается, что аккуратный перебор — полезный инструмент и для повседневных решений.
Как понять, что при переборе не пропущен ни один вариант?
Заранее установи порядок перебора: например, сначала фиксируй первый выбор, а затем рассматривай все продолжения. Сверь число полученных вариантов с подсчётом по дереву или умножением, если условия для такого подсчёта подходят.
Когда удобнее рисовать дерево вариантов?
Дерево особенно удобно, когда выбор состоит из нескольких шагов и вариантов немного. По ветвям видно, какие продолжения возможны после каждого выбора, а по путям от начала до конца — готовые варианты.
Почему при нескольких выборах иногда нужно умножать числа возможностей?
Каждый выбор первого шага можно соединить с каждым допустимым выбором следующего шага. Поэтому число путей получается умножением чисел возможностей, если их количество на шагах не меняется из-за предыдущих решений.
Что считать отдельным исходом при бросании двух кубиков?
Если кубики различимы, исход — упорядоченная пара: сначала результат первого кубика, затем второго. Поэтому результаты 2 и 5 записывают как (2, 5) или (5, 2), и это разные исходы.
Можно ли вычислять вероятность по формуле, если исходы неравновозможны?
Нет, простое отношение числа благоприятных исходов к числу всех подходит только при равновозможных исходах. Если шансы исходов различаются, нужно учитывать вероятность каждого исхода отдельно.
9.3. Решение задач на перебор вариантов и вычисление вероятностей
